数字图像处理——频率域图像增强_彩色数字图像不能进行基于频率域的增强处理。

频率域图像增强

空间域和频率域为我们提供了不同的视角。在空间域中，函数的自变量 (x,y) 被视为二维空间中的一点，数字图像 f(x,y) 即为一个定义在二维空间中的矩形区域上的离散函数；换一个角度，如果将 f(x,y) 视为幅值变化的二维信号，则可以通过某些变换手段（如傅里叶变换、离散余弦变换、沃尔什变换和小波变换等）在频率域下对它进行分析。

1、频率域滤波——与空间域滤波殊途同归

在很多情况下，频率域滤波和空间域滤波可以视为对同一个图像增强问题的殊途同归的两种解决方法。而在另外一些情况下，有些增强问题更适合在频率域中完成，有些则更适合在空间域中完成。

傅里叶变换提供了一种变换到频率域的手段，由于用傅里叶变化表示的函数特征可以完全通过傅里叶反变换进行重建，不丢失任何信息，因此它可以使我们工作在频率域，而在转换回空间域时不丢失任何信息。

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2、傅里叶变换基础知识

2.1、傅里叶级数

法国数学家傅里叶发现任何周期函数只要满足一定条件（狄利赫里条件）都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数，即以不同频率的正弦和余弦函数的加权和来表示，后世称为傅里叶级数。

对于有限定义域的非周期函数，可以对其进行周期延拓，从而使其在整个扩展定义域上为周期函数，从而也可以展开为傅里叶级数。

1. 傅里叶级数的三角形式

   周期为 T 的函数 f(t) 的三角形式傅里叶级数展开为：
   $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^{+\infty }(a_k\cos n{\omega }_{0}x+b_k\sin n{\omega }_{0}x)$$
   式中：
   $${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}=2\pi u,而u=1/T,是函数f(x)的频率$$
   a_k 和 b_k 称为傅里叶系数。事实上，傅里叶系数正是傅里叶变换中所关心的对象。

   于是，周期函数 f(t) 就与下面的傅里叶序列产生了一一对应，即：
   f ( x ) ⇔ { a 0 , ( a 1 , b 2 ) , ( a 2 , b 2 ) . . . } f(x)\Leftrightarrow\{a_0,(a_1,b_2),(a_2,b_2)...\} f(x)⇔{ a0​,(a1​,b2​),(a2​,b2​)...}
   

   数学上已经证明了，傅里叶级数的前 N 项和是原函数 f(t) 在给定能量下的最佳逼近：
   $$\underset{N\to \infty }{\lim }{\int }_0^T|f(t)-[\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^N(a_k\cos k{\omega }_{0}t+b_k\cos k{\omega }_{0}t)]{|}^{2}dx=0$$
   

   上图展示了对于一个方波信号函数采用不同的 N 值的逼近情况。随着 N 值的增大，逼近效果越来越好。但同时也注意到，在 f(x) 的不可导点上，如果只取式 (1) 右边的无穷级数中的有限项之和作为 f(x)，那么 f(x) 在这些点上会有起伏。这就是著名的吉布斯现象。

2. 傅立叶级数的复指数形式

   除了上面的三角形式外，傅里叶级数还有其他两种常用的表现形式，即余弦形式和复指数形式。

   复指数形式即我们经常说的傅里叶级数的复数形式，因其具有简洁的形式（只需要一个统一的表达式计算傅里叶系数），在进行信号和系统分析时更易于使用。而余弦傅立叶级数可使周期信号的幅度值和相位谱意义更加直观，函数的余弦傅立叶级数可使周期信号的幅度值和相位谱意义更加直观，函数的余弦傅立叶级数展开可以解释为 f(x) 可以由不同频率和相位的余弦波以不同系数组合在一起来表示，而在三角形式中相位是隐藏在系数 a_n 和 b_n 中的。下面主要介绍复指数傅立叶级数，在后面的傅立叶变换中要用到的正式这种形式。

   傅里叶级数的复指数形式为：
   $$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{i2n\pi ux}$$
   式中：
   $$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(x)e^{-i2n\pi ux}dx(n=0,\pm 1,\pm 2,...)$$

复指数傅立叶级数形式比较简洁，级数和系数都可以采用一个统一的公式计算。不同的展开形式之间本质上是等价的。

2.2、傅里叶变换

2.2.1、一维连续傅里叶变换

对于定义域为整个时间轴（-∞<t<+∞）的非周期函数 f(t)，此时无法通过周期延拓将其扩展为周期函数，这种情况下就要用到傅里叶变换：
$$F(u)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i2\pi ux}dx$$
由 F(u) 我们还可以通过傅里叶反变换获得 f(t)：
$$f(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }F(u)e^{i2\pi ux}du$$
上面的两个式子就是所谓的傅里叶变换对。上面提到的函数可以从它的反函数变换进行重建正是基于傅里叶变换对。

由于傅立叶变换与傅立叶级数设计两类不同的函数，我们不妨认为周期函数的周期可以趋向无穷大，这样可以将傅立叶变换看成是傅立叶级数的推广。

仔细观察式 (7) 和式 (8)，对比复指数形式的傅立叶级数展开式式 (5)，注意到在这里傅立叶变换的结果 F(u) 实际上相当于傅立叶级数展开中的傅立叶系数，而反变换公式式 (8) 则体现出不同频率复指数函数的加权和形式，相当于复指数形式的傅立叶级数展开公式，只不过这里的频率 u 变成了连续的，所以加权和采用了积分的形式。这是因为随着作为式 (6) 的积分上下限的 T 向整个实数定义域扩展，即 T→∞，频率 u 则趋近于 du（因为 u=1/T），导致原来离散变化的 u 的连续化。

2.2.2、一维离散傅里叶变换

一维函数 f(x) （其中 x=0,1,2,…,M-1）的傅里叶变换的离散形式为：
$$F(u)=\sum _{x=0}^{M-1}f(x)e^{-i2\pi ux/M},u=0,1,2,...,M-1$$
相应的反变换为：
$$f(x)=\frac{1}{M}\sum _{u=0}^{M-1}F(u)e^{i2\pi ux/M},x=0,1,2,...,M-1$$
一些有用的性质如下：

• 注意到在频率下变换 F(u) 也是离散的，且其定义与仍为 0~M-1，这是因为 F(u) 的周期性，即
  $$F(u+M)=F(u)$$

• 式 (10) 中的系数 1/M，在这里该系数被放在反变换之前，实际上它也可以位于式 (9) 的正变换公式中。更一般的情况是，只要保证正变换和反变换之前的系数乘积为 1/M 即可。

• 为了求得每一个 F(u)，都需要全部 M 个点的 f(x) 参与加权求和计算。对于 M 个 u，则总共需要大约 M² 次计算。

2.2.3、二维连续傅里叶变换

对于二维连续函数，傅里叶变换为：
$$F(u,v)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-i2\pi u(ux+vy)}dxdy$$
类似的，其反变换为：
$$f(x,y)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(u,v)e^{j2\pi (ux+vy)}dudv$$

2.2.4、二维离散傅里叶变换

在数字图像处理中，我们关心的自然是二维离散函数的傅里叶变换，下面直接给出二维离散傅里叶变换（DFT）公式：
$$F(u,v)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{M-1}f(x,y)e^{i2\pi (ux/M+vy/N)}$$

f ( x , y ) = 1 M N ∑ u = 0 M − 1 ∑ v = 0 N − 1 F ( u , v ) e i 2 π (