高等数学-向量代数与空间解析几何_向量代数和空间解析几何

一.向量代数

     R^2  或  R^3 中的向量可以表示为：

              或  

         其长度为：  

    向量运算(以R^3  为例)：  记  a = , b= ,  c= 

       1.向量的加法运算：

                 

       2.数乘：

                  

       3.数量积：

                   

       4.向量积：

                     

        5.混合积：

                    

二.空间解析几何

     1.空间平面的表达形式:

                     ,其中，n = Ai + Bj + Ck 称为 法向量。

     2.空间直线的表达形式：

                      ， 其中，  称为 方向向量

       3.空间曲面的表达形式:

                            显函数形式：   

                            隐函数形式：   

                            参函数形式：    

        4.空间曲线的表达形式：

                             参函数表达形式： 

                             空间曲线作为两个曲面的交线： 

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2019.3.5 10:25 补充：

   空间平面方程（曲面的一种，由圆锥曲线类推而来）：

          一般方程；

          点法式方程；

   空间直线方程：

           一般方程；

          对称式方程（点向式方程）；

         参数方程；

    两平面夹角：

           

    两直线夹角：

           

     直线平面夹角：

            

     点面距离：

             

     平面束：

            通过定 直线 的所有平面的全体。

            线在面上的投影，即  该线的 平面束 与 该面的交线。 

    空间直线共面的充要条件：

           两直线的 方向向量的 向量积  与  两直线定点向量 相互垂直。 

            简言之：   两个方向向量，一个定点向量 ，三向量共享一个法向量。 

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2019.3.9   补充：

   切向量，法向量 的求法：

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2019.3.9 补充

   内外法向量：

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2019.3.16 补充：

9种二次曲面的标准方程 及 形状：

   1.椭圆锥面：

                  

           形状解析：  以垂直于 z轴的平面，切该 曲面，得到 多个 长短轴比例不变 的椭圆。

    2.椭球面：

               

            形状解析：  将 xOz面 的 椭圆， 绕 z轴  旋转，然后 让 该曲面 沿 y  维  伸缩  b/a倍。 

    3.单页双曲面：

               

            形状解析： 将 xOz上的 双曲线，绕z轴旋转，将该曲面  沿 y 维 伸缩 b/a倍。 

    4.双叶双曲面：

                

           形状解析：   将 xOz上的 双曲线，绕x轴旋转，将该曲面  沿 y 维 伸缩 a/c倍。

   5.椭圆抛物面：

                 

           形状解析：  将 xOz上的 抛物线，绕z轴旋转，将该曲面  沿 y 维 伸缩 b/a倍。

   6.双曲抛物面：

                  

          形状解析：  马鞍面(底部是平的)。

    7,8,9.椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面;

           形式同  2元方程。