曲线曲面基础：1.隐式和参数表示_曲面隐式方程

在几何造型中，两种最常用的曲线、曲面表示方法是隐式表示和参数表示方法。
xy平面上曲线可以用形如 $f(x,y)=0$ 的隐式方程来表示。这个方程隐含地描述了曲线上点的 x，y坐标之间所满足的关系。对于一条给定的曲线，除了差一个常数因子外，方程是唯一的。
在参数表示形式中，曲线上点的每个坐标分量均被表示为一个独立参数的显函数。
圆心位于原点的单位圆：

隐式方程：$f(x,y)=x^2+y^2-1=0$
参数方程：$C(u)=(x(u),y(u)),a⩽u⩽b$

$C(u)$是一个独立变量$u$的矢值函数，$[a,b]$可以是任意的，但通常将其归一化为$[0,1]$。

位于第一象限的圆弧采用参数形式可以表示为
$\{\begin{array}{l}x(u)=cos(u)\\ y(u)=sin(u)\end{array}0⩽u⩽\frac{\pi }{2}(1.1)$

令$t=\tan (\frac{u}{2})$，得到另一种参数表示形式
$\{\begin{array}{l}x(t)=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ y(t)=\frac{2t}{1+t^2}\end{array}0⩽t⩽1(1.2)$

因此，一条曲线的参数表示形式是不唯一的。
直观上，我们可以将曲线理解为质点运动所形成的轨迹，将参数$u$看作时间变量，$C(u)=(x(u),y(u))$为$u$时刻质点的位置矢量，$[a,b]$为时间区间。$C(u)$的一阶和二阶导矢分别为速度和加速度。在几何上，一阶导矢也成为切矢。对方程（1.1）和方程（1.2）求导，得到速度函数

$\begin{array}{c}{\mathbf{C}}^{\prime }(u)=(x^{\prime }(u),y^{\prime }(u))=(-\sin (u),\cos (u))\\ {\mathbf{C}}^{\prime }(t)=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))=\left(\frac{-4t}{(1+t^2{)}^2},\frac{2(1-t^2)}{(1+t^2{)}^2}\right)\end{array}$
注意，速度矢量${\mathbf{C}}^{\prime }(u)$的大小为常数

$\mid {\mathbf{C}}^{\prime }(u)\mid =\sqrt{{\sin }^2(u)+{\cos }^2(u)}=1$

即：虽然质点运动的方向随时间而变化，但其速率是一个常数。这种参数表示形式称为均匀参数化（uniform parametcrization）。

但是速度矢量${\mathbf{C}}^{\prime }(t)$的大小不为常数，将$t=0$和$t=1$代入${\mathbf{C}}^{\prime }(t)$得：${\mathbf{C}}^{\prime }(0)=(0,2)$，${\mathbf{C}}^{\prime }(1)=(-1,0)$，即：质点的初始速度是终止速度的2倍。

曲面的隐式方程具有形式$f(x,y,z)=0$。例如，球心在原点的单位球面可以用方程$x^2+y^2+z^2-1=0$来表示。该球面的一种参数表示形式（不唯一）为

$S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$，其中

$\begin{array}{r}x(u,v)=\sin (u)\cos (v)\\ y(u,v)=\sin (u)\sin (v)\\ z(u,v)=\cos (u)\end{array}0⩽u⩽\pi ,0⩽v⩽2\pi (1.3)$

注意：在曲面的参数方程中，需要两个参数。固定$u$不变，让$v$变化，则产生球面的纬线；固定$v$不变，让$u$变化，则产生球面的经线。

记${\text{S}}_u(u,v)=\left(x_u(u,v),y_u(u,v),z_u(u,v)\right)$和${\mathbf{S}}_v(u,v)=(x_v(u,v),y_v(u,v),z_v(u,v))$为$S(u,v)$的偏导矢，即：分别沿着经线和纬线的速度矢量。在曲面上任一点处，如果${\mathbf{S}}_u\times {\mathbf{S}}_v$ 不消失（即${\mathbf{S}}_u\times {\mathbf{S}}_v$ 为非零矢量），则曲面在该点处的单位法矢$N$可由下式给出

$\mathbf{N}=\frac{{\mathbf{S}}_u\times {\mathbf{S}}_v}{\mid {\mathbf{S}}_u\times {\mathbf{S}}_v\mid }(1.4)$

曲面在一点处存在法矢及相应切平面是曲面的几何性质。和曲面的参数化无关。因此，尽管不同的参数化会产生不同的偏导矢，但只要$(1.4)$式中的分母不为零，则按$(1.4)$式得到的$N$都是相同的。由$(1.3)$式容易发现，对于所有的$v(0⩽v\le 2\pi )$有${\mathbf{S}}_v(0,v)={\mathbf{S}}_v{(}_{\pi },v)=0$，即：${\mathbf{S}}_v$在球面的北极和南极消失（为零矢量）。很明显，球面在两个极点的法矢确实是存在的，但在这种参数化之下，无法用$(1.4)$式来计算它们。

对于隐式表示形式和参数表示形式，很难断言其中一种总是比另一种好，它们各有自己的优点和缺点。一个成功的几何造型系统往往同时用到以上两种技术。一下对这两种表示方法做一个比较：

• 通过增加一个$z$坐标，很容易将参数方法推广到三维空间中任意曲线的表示，即：$\mathbf{C}(u)=(x(u),y(u),z(u))$；而隐式方法只能用来表示$xy$（或$xz$或$yz$）平面上的曲线。
• 用隐式方法表示有界的曲线段（或曲面片）是很不方便的，而在参数表示形式中，曲线（或曲面）的有界性由参数区间的有界性自然得到。另一方面，无界的几何元素（例如，由$f(x,y)=ax+by+c=0$所定义的直线）利用参数方法表示也是不方便的。
• 曲线的参数表示同时给出了曲线的一个方向（设$a⩽u⩽b$，方向为从$C(a)$到$C(b)$；而隐式则不然。因此，利用参数表示形式，很容易生成曲线上的有序点列。类似地，根据曲面的参数方程很容易生成曲面上的网格点。
• 在利用计算机进行形状设计和表示时，参数形式更直观、自然。在很多参数表示形式（如Bezier和B样条）中，系数具有相当重要的几何意义。这导致直观的设计方法和具有几何特色、数值稳定的算法。
• 许多几何操作的计算复杂度极大地依赖于所采用的表示方法。两个典型的例子是：当计算曲线或曲面上点的位置时，采用隐式表示形式是很困难的。当给定一个点，要判断它是否在曲线或曲面上时，采用参数形式是困难的。
• 当采用参数形式时，经常需要处理由参数化引起的奇异性，而这种奇异性并不是由于本身的几何特性引起的。一个这样的例子时由（1.3）式表示的单位球面。按参数方程，它的两个极点是奇点，处理时较为复杂。但在几何上，两个极点和球面上的其他点并无不同之处