滑模控制(Sliding mode control)快速入门

0. 简介

最近作者受到邀请，让我帮忙给刚入门的学弟讲讲滑模控制。可是作者也不知道怎么向未入门的学弟讲解这些基础知识，所以作者翻了翻近几年写的很好的文章以及视频。综合起来，来总结出一套比较基础，且适用于初学者的文章吧。这里我们先贴一下王崇卫同学的笔记。

对应的视频连接在下面：

1. 滑模控制目的

对于滑模控制而言，我觉得我们先要明白其目的再来学习。一开始我们对滑动控制的定义是：滑动模式是先使用受控系统产生两个以上的子系统，然后再刻意加入一些切换条件产生滑动模式，以达成控制目标的一种技术。

滑模控制（sliding mode control, SMC）也叫变结构控制，其本质上是一类特殊的非线性控制，且非线性表现为控制的不连续性。这种控制策略与其他控制的不同之处在于系统的“结构”并不固定，而是可以在动态过程中，根据系统当前的状态（如偏差及其各阶导数等）有目的地不断变化，迫使系统按照预定“滑动模态”的状态轨迹运动。

例如滑动模式控制中存在滑动曲面$s=0$,一开始时，系统会在有限时间内到达滑动曲面，之后就会沿着滑动曲面移动。在滑动模式的理论叙述中，系统会约束在滑动曲面上，因此只需将系统视为在滑动曲面上滑动。不过实际系统的实现是用高频切换来让系统近似在滑动曲面上滑动，高频切换的控制信号让系统在很邻近滑动曲面的范围内切跳（chatter），而且其频率是不固定的。虽然整体系统是非线性的，不过下图中，当系统到达滑动曲面后，理想（没有切跳）系统会限制在$s=0$的滑动曲面上，滑动曲面是线性时不变系统，在原点处指数稳定。

2. 滑模控制优缺点

2.1 滑模控制的优点：

滑动模态可以设计且与对象参数和扰动无关，具有快速响应、对参数变化和扰动不灵敏（ 鲁棒性）、无须系统在线辨识、物理实现简单。

2.2 滑模控制的缺点：

当状态轨迹到达滑动模态面后，难以严格沿着滑动模态面向平衡点滑动，而是在其两侧来回穿越地趋近平衡点，从而产生抖振——滑模控制实际应用中的主要障碍。国内外主要通过改进滑模趋近律达到减弱抖振的目的。

3. 滑模控制需要条件

上文讲到滑模变结构控制器设计也包括两部分，一是能从状态空间的任何位置有限时间到达滑模面 $s=0$，二是在滑模面上可以收敛到原点（平衡点）。这也就代表我们要存在有一个稳定的滑模面，且该滑模面是可达的。为此有以下四个条件：

• 稳定性条件：在s=0的滑模面上，状态是收敛的，即滑动模态存在；
• 可达性条件：在切换面s=0以外的运动点将于有限时间内到达切换面；
• 保证滑模运动的稳定性；
• 达到控制系统运动品质要求。

下面将按照四个条件来叙述如何设计滑模控制的控制器，这里的部分内容借鉴了文章滑动模型控制（Sliding Mode Control），并结合作者的理解进行写作。

3.1 被控系统的滑模面生成

首先第一步就是我们需要明白，我们需要找到一个滑模面来让被控系统在滑模面上维持稳定。
例如假设存在一个被控系统：
x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = u

$$\begin{aligned} \dot{x}_1 &= x_2 \\ \dot{x}_2 &= u \end{aligned}$$ x˙1​x˙2​​=x2​=u​

这个时候我们就需要根据被控系统设计一个滑模面，滑模面一般可以设计为如下的形式
$$s(x)=\sum _{i=1}^{n-1}{c}_i{x}_i+x_n$$
因为在滑模控制中，要保证多项式$p^{n-1}+c_n{p}^{n-2}+\cdots +c_{2}p+c_1$为Hurwitz (简单来说这条条件是为了满足状态在$s=0$的滑模面上可以收敛)。

什么是Hurwitz，即上述多项式的特征值的实数部分在左半平面，即为负。

我们可以看到上述的被控系统是存在有两个变量，所以需要取$n=2$，即 $s(x)=c_1{x}_1+x_2$，为了保证多项式 $p+c_1$为Hurwitz，需要多项式$p+c_1=0$的特征值实数部分为负，即$c_1>0$。

我们知道滑模控制需要使得状态$x_1$ 和$x_2$的导数均达到零，我们令 $s=0$，分析一下结果有
{ c x 1 + x 2 = 0 x ˙ 1 = x 2    ⇒    c x 1 + x ˙ 1 = 0    ⇒    { x 1 ( t ) = e − c t x 1 ( 0 ) x 2 ( t ) = x ˙ 1 ( t ) = − c x 1 ( 0 ) e − c t \left\{

$$\begin{aligned} &cx_1 + x_2 = 0 \\ &\dot{x}_1 = x_2 \end{aligned}$$ \right. ~~ \Rightarrow ~~ c x_1 + \dot{x}_1 = 0 ~~ \Rightarrow ~~ \left\{ $$\begin{aligned} &x_1(t) = \text{e}^{-ct} x_1(0) \\ &x_2(t) = \dot{x}_1(t) = -c x_1(0) \text{e}^{-ct} \end{aligned}$$ \right. {​cx1​+x2​=0x˙1​=x2​​  ⇒  cx1​+x˙1​=0  ⇒  {​x1​(t)=e−ctx1​(0)x2​(t)=x˙1​(t)=−cx1​(0)e−ct​
通过上式可以看到状态$x_1$ 和 $x_2$ 最终都是趋向于零的，而且速度是以指数速率趋紧的。指数速率意味着当$t=1/c$时，趋零过程完成$63.2\%$，当$t=3/c$时，趋零过程完成 $95.021\%$。那么我们通过调节参数$c$的大小即可实现对趋零速度的调节，$c$ 越大，速度越快。

因此如果满足了 $s=c{x}_1+x_2=0$，那么系统的状态$x_1$ 和$x_2$也将沿着滑模面趋近于零 ($s=0$称之为滑模面)。

3.2 可达性控制器设计

在拿到滑模面后则证明被控系统的稳定性条件成立，下面一步就是可达性条件，即状态$x$ 从状态空间中任意一点出发，可以在有限时间到达 $s=0$ 的滑模面上，此时我们可以采用李雅普诺夫间接法来分析，从前面可知，切换函数 $s$ 是状态变量 $x$ 的函数，取以下的李雅普诺夫函数

$$V=\frac{1}{2}{s}^2$$

对时间求导可得
V ˙ = s s ˙ = s ( − sgn ( s ) − s ) = − sgn ( s ) s − s 2 = − ( ∣ s ∣ + s 2 ) < 0

$$\begin{aligned} \dot{V} &= s \dot{s} \\ &= s (-\text{sgn}(s) - s) \\ &= -\text{sgn}(s) s - s^2 \\ &= -(|s| + s^2) < 0 \end{aligned}$$ V˙​=ss˙=s(−sgn(s)−s)=−sgn(s)s−s2=−(∣s∣+s2)<0​

为了使系统稳定，我们需要使$\dot{V}<0$，即 $s\dot{s}<0$。此时系统对于 $s$而言是渐进稳定，不能保证其有限时间到$s=0$ 的滑模面上(渐进稳定是当 $t$趋于无穷时，状态变量 $x$ 趋于 $0$，即无限时间到达)，因此需要 $s\dot{s}<-\sigma$，$\sigma$是一个极小的正数。$以上就是可达性条件成立的必要依据$。

但是实际上每次设计总不能都用李雅普诺夫函数判断，于是人们就提出了趋近律这一概念，常用的趋近律有如下几种，其中$\text{sgn}(s)$ 是符号函数， $s>0,\text{sgn}(s)=1;s<0,\text{sgn}(s)=-1;s=0,\text{sgn}(s)=0$:

1. 等速趋近律： $\dot{s}=-ϵ\text{sgn}(s),ϵ>0$

2. 指数趋近律：$\dot{s}=-ϵ\text{sgn}(s)-ks,ϵ>0,k>0$

3. 幂次趋近律： $\dot{s}=-k|s{|}^{\alpha }\text{sgn}(s)-ks,k>0,0<\alpha <1$

一般在使用时候我们需要完成这些参数的调整，一般我们使用的是指数趋近率，并将$ϵ$和$k$的值均设为1，简化为：

$$\dot{s}=\text{sgn}(s)-s$$

然后我们可知$s(x)=c_1{x}_1+x_2$，则$\dot{s}=\text{sgn}(s)-s=c_1\dot{x_1}+\dot{x_2}=c_1{x}_2+u$。则我们可以得到控制器$u$为：

$$u=\text{sgn}(s)-s-c_1{x}_2$$

这就得到了我们必要的两个条件即，存在滑模面$s$以及可达性控制器$u$.

4. 滑模控制Python代码

下面是最简单的python代码

…详情请参照古月居