MATLAB学习笔记——数值微积分

前言

本次主要是为了记录下学习和复习MATLAB中的知识点，顺便复习一波高数，以此来巩固一下自己薄弱的知识体系，MATLAB前面基础零散的小知识点就暂时先不管，事先声明，本人是跟着的B站上的教程视频 MATLAB教程_台大郭彦甫（14课）原视频补档，所以博客中的大部分案例也都来自郭老师得教案。

基础必知

公式：

在MATLAB中用p = [1 0 -2 -5];表示，所在位置为变量指数。
多项式微分公式：

多项式积分公式：

多项式计算

a = [9,-5,3,7];  x = -2:0.01:5;
f = polyval(a,x);  
plot(x,f,'LineWidth', 2);
xlabel('x');  ylabel('f(x)');
set(gca, 'FontSize', 14)
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polyval - 多项式计算
此 MATLAB 函数 计算多项式 p 在 x 的每个点处的值。参数 p 是长度为 n+1 的向量，其元素是 n 次多项式的系数（降幂排序）。

多项式微分

p=[5 0 -2 0 1];
polyder(p)
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polyder - 多项式微分
此 MATLAB 函数 返回 p 中的系数表示的多项式的导数。

计算微分后某个点的值。

polyval(polyder(p),7)
1

多项式积分

p=[5 0 -2 0 1];
polyint(p, 3)
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polyint - 多项式积分
此 MATLAB 函数 使用积分常量 k 返回 p 中系数所表示的多项式积分。

计算积分后某个点的值。

polyval(polyint(p, 3),7)
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函数求导

x = [1  2  5  2  1];
diff(x)
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diff - 差分和近似导数
此 MATLAB 函数 计算沿大小不等于 1 的第一个数组维度的 X 相邻元素之间的差分。

可以看出得到的结果为每个数之间的间隔。
求两点之间的斜率

x = [1  2];  y = [5  7];
slope = diff(y)./diff(x) 
1
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特定区间内求导

h = 0.5;  x = 0:h:2*pi;
y = sin(x);  m = diff(y)./diff(x);
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二次求导与三次求导

x = -2:0.005:2;  y = x.^3;
m = diff(y)./diff(x);
m2 = diff(m)./diff(x(1:end-1));

plot(x,y,x(1:end-1),m,x(1:end-2),m2);
xlabel('x', 'FontSize', 18);  
ylabel('y', 'FontSize', 18);
legend('f(x) = x^3','f''(x)','f''''(x)');
set(gca, 'FontSize', 18);
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end - 1是因为每次求导后区间都会缩小1。

中点法则（Midpoint Rule）

使用Midpoint Rule来求积分的区间面积。

h = 0.05;  x = 0:h:2;
midpoint = (x(1:end-1)+x(2:end))./2;
y = 4*midpoint.^3;
s = sum(h*y)
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midpoint - Midpoint weight initialization function
This MATLAB function takes two arguments, Number of rows (neurons) R-by-Q matrix of input value ranges = [Pmin Pmax]

梯形法则（Trapezoid Rule）

使用Trapezoid Rule来求积分区间面积。

h = 0.05; x = 0:h:2; y = 4*x.^3;
s = h*trapz(y)
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trapz - 梯形数值积分
此 MATLAB 函数 通过梯形法计算 Y 的近似积分（采用单位间距）。Y 的大小确定求积分所沿用的维度：

二阶规则（Second-order Rule）

使用Second-order Rule计算积分区间面积。

h = 0.05;  x = 0:h:2;  y = 4*x.^3;
s = h/3*(y(1)+2*sum(y(3:2:end-2))+...
4*sum(y(2:2:end))+y(end))
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三者比较

回到最简单的方法（Function Handles (@) ）

求积分

y = @(x) 1./(x.^3-2*x-5);
integral(y,0,2)
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多重积分

二重积分

f = @(x,y) y.*sin(x)+x.*cos(y);
integral2(f,pi,2*pi,0,pi)
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三重积分

f = @(x,y,z) y.*sin(x)+z.*cos(y);
integral3(f,0,pi,0,1,-1,1)
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