三次样条插值_refreever

一、样条函数的定义

样条函数属于分段光滑插值，他的基本思想是，在由两相邻节点所构成的每一个小区间内用低次多项式来逼近，并且在各结点的连接处又保证是光滑的(即导数连续)。

设在区间[a,b]上给定一组结点X:

,和一组对应的函数值。若函数S(x)满足下列条件：

(1)在每一个子区间(k=1,2,...n)上，S(x)是一个不超过三次的多项式。

(2)在每一个结点上满足S(xi)=yi,i=0,1,...,n。

(3)S(x)在区间[a,b]上为二次连续可微函数。

则称S(x)为结点X上插值与Y的三次样条插值。

二、三次样条函数的构造

在工程上，构造三次样条插值函数通常有两种方法：一是以给定插值结点处得二阶导数值作为未知数来求解，而工程上称二阶导数为弯矩，因此，这种方法成为三弯矩插值。二是以给定插值结点处得一阶导数作为未知数来求解，而一阶导数右称为斜率，因此，这种方法称为三斜率插值。

三斜率插值法

根据定义，三次样条函数在插值结点处一阶导数应存在。因此设各结点处的一阶导数为：

。利用两点埃尔米特插值公式，就可以得到样条插值函数S(x)在子区间上的表达式为：