LDA(Latent Dirichlet Allocation)隐狄利克雷分布及Gibbs采样求解_lda狄利克雷分布p(w,z)

前言：LDA模型最开始是从周志华老师的机器学习的第14章最后一小节了解到的，但是书上写的很简略，看完不是很懂，而且课后题还建议自己编程实现LDA，所以上网查了下资料，以下是综合各种网上的资料之后的个人理解，欢迎批评指正。最后一篇参考文献是pLSA的，写的很详细。
是LDA是一种无监督的贝叶斯模型。也是一种主题模型，它可以将文档集中的每篇文档按照概率分布的形式给出。还是一种无监督学习，在训练时不需要手工标注的训练集，需要的是文档集和指定主题的个数。它是一种典型的词袋模型，它认为一篇文档是由一组词组成的集合，词与词之间没有顺序和先后关系。
lda建模常用包：gensim
分词常用包：jieba,bltk

pLSA与LDA比较：

pLSA：样本随机，主题分布的参数虽然是未知的，但是是固定值，属于频率派，可用EM算法求出θ和φ。
LDA：样本是固定的，分布参数是未知的且随机的服从某个分布，属于贝叶斯派，θ和φ服从Dirichlet分布，可用变分-EM算法或Gibbs采样来求解θ和φ。
LDA是在plsa的基础上增加了贝叶斯框架，参数θ和φ服从Dirichlet分布。由于主题分布和词分布都是多项分布，所以选择与多项分布共轭的Dirichlet分布作为其先验分布，以便于计算。贝叶斯派认为

LDA原理

核心公式：P(词 | 文档)=P（词 | 主题）P（主题 | 文档）
P(w|d)=P(w|z)∗P(z|d) 其实就是以主题为中间层，通过两个向量（θm，φk），分别给出 P(w|z),P(z|d)。

LDA模型

α 和β 是Dirichlet参数，超参，在工程上， α 一般取50/K, β 一般取0.01；K也是超参；
θm服从Dir(α )，φk服从Dir( β )，一个Zmn对应一个Wmn，这三个都是隐变量；
Wmn是已观测到的变量，共有mxn个word；
M篇文档(Doc)，假设每篇文档都有N个词(word)，M篇文档共包含K个主题(Topic)，M篇文档中共有V个不同的词 (Term)，即词典（语料库）中有V个term。

LDA模型概率分布

模型对应的概率分布为：

LDA单个文档生成过程

1.对某个文档Dm，从参数为 α 的Dirichlet分布中随机采样出一个主题分布θm；
2.根据主题分布θm，抽取主题Zmn=k；
3.从参数为 β 的Dirichlet分布中随机采样出主题Zmn=k对应的词分布φk；
4.从词分布φk中抽取词Wmn为文档m的第n个词word；
5.重复2-4步，生成N个词。

LDA模型训练过程

输入：文档集合D；
输出：θmxk，φkxv；
0.预处理文档，删除空格、标点、回车、无用词如时间和地址等、停用词、等，然后建立词袋(语料库Vocabulary)；
1.选择合适的主题数K，以及超参 α 和 β ；
2.对M个文档中的每一个Wmn，随机赋予一个主题号Zmn；
3.重新扫描M个文档中的每一个word，利用Gibbs采样公式计算当前词属于每个topic的概率，并重新采样，更新它的主题号Zmn；
4.重复第3步，直至Gibbs采样收敛或达到设定的循环次数为止；
5.根据每个word的主题号，计算得到θ和φ。

Gibbs采样：

计算p(w|z, β)和p(z|α)

由LDA模型概率分布，得：
p(w|z, β)是词采样，p(z|α)是主题采样，两者间相互独立，可得：
其中：

n_kt为所有mxn个word中，在第k个主题下，term t出现的次数；φ_kt为第k个主题下，term t出现的概率，t取值为1~V。n_mk为第m篇文档中出现主题k的次数，θ_(m,k)为第m篇文档下出现主题k的概率。
分别带入p(w|z, β)和p(z|α)，得：

nk=[nk1,nk2,…,nkv]为第k个主题下，每个term出现的次数；nm=[nm1,nm2,…,nmk]为第m篇文档出现每个topic的次数。

Gibbs采样原理

吉布斯抽样也是沿着doc->topic->word这样的方向进行的。
有了联合分布p(w,z)，便可计算在给定可观测变量Wi=t对应的隐变量Zi的条件分布（后验分布）来进行贝叶斯分析：
其中Zi=k表示第i个词对应的主题为k，i的取值范围为1~mxn表示第m篇文档下的第n个词，¬i表示去掉下标为i的词对主题分布的影响后的主题分布。该条件分布式的含义为，根据其他所有词的主题分类，来估计当前词Wi=t分配到各个主题 Z1,Z2,…,Zk 的概率（即Gibbs算法中的计算每个坐标轴对应的条件分布，并固定当前计算的轴以外的其他所有轴）。
得到当前词属于所有主题z1,z2,…,zk 的概率分布后，即可进行Gibbs采样，重新为当前词采样一个新的主题 z。用同样的方法不断更新的下一个词的主题，直到Gibbs采样收敛，得到第每个词对应的主题。便可计算主题分布θm 和词分布 ϕk 。

计算条件分布

由于wi与w¬i间相互独立，所以wi与z¬i间也相互独立，所以：Gibbs采样只需要为wi采一个样，因此不用得到上式准确的值，只需得到zi取值的比值即可，将上式简化为：
计算p(w|z, β)和p(z|α)一节中已得出各项的表达式，所以：
由于zi=k,wi=t只涉及到第m篇文档和第k个主题，所以仅对nk和nm有影响，上式进一步简化为：
nkt表示主题k下term t出现的次数，nmk表示文档m中主题k出现的次数(注意是次数，不是频数)。由伽马函数的性质Γ(a+1)=aΓ(a)，有：
即主题k的后验分布，也就是Gibbs Sampling公式。该式的物理意义就是在K条doc->topic->word路径中进行采样。
对主题1到K分别计算后验分布概率，然后为wi按后验概率随机抽取主题。

计算θ和φ

当Gibbs采样收敛后，即可根据每个word对应的topic统计θ和φ的值：

参考文献

概率语言模型及其变形系列(2)-LDA及Gibbs Sampling
机器学习主题模型之LDA参数求解——Gibbs采样
文本主题模型之LDA(二) LDA求解之Gibbs采样算法
通俗理解LDA主题模型
LDA的python实现之模型参数训练
主题模型 LDA 入门（附 Python 代码）
plsa(Probabilistic Latent Semantic Analysis) 概率隐语义分析