【leetcode】96. 不同的二叉搜索树（动态规划）_5个节点的二叉树有多少种形态

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

分析：
可以转换成数学公式来解。
12345…理解为一个数组，其中的每个节点都可以拎起来，当做根节点。
故，可以划分为左子树有i-1个节点，右子树有n-1个节点。（其中一个位根节点）

递归写法，必定超时。用hash表存一下也不行。

// 还是超时
int numTreesImpl(int n, unordered_map<int, int>& hash)
{
	if (n == 1 || n == 0) return 1;


	int res = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		int left = 0;
		int right = 0;
		if (hash.find(i) != hash.end())
		{
			left = hash.find(i)->second;
		}
		else
		{
			left = numTreesImpl(i, hash);
		}

		if (hash.find(n - i - 1) != hash.end())
		{
			right = hash.find(n - i - 1)->second;
		}
		else
		{
			right = numTreesImpl(n - i - 1, hash);
		}

		res += left * right;
	}
	return res;
}

// https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/
// 给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？
// 超时递归
int numTrees(int n) { 
	unordered_map<int, int> hash;
	return numTreesImpl(n, hash);
}
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然后用动态规划的思想来解这个问题。
用一个dp[n+1]的数组保存自底向上计算出来的子结果。其中当前节点dp[i]的值，可以表示为
dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]
其中j从1到i。是一个累加的和

int numTrees(int n) {
	vector<int> dp(n + 1);
	dp[0] = 1;
	dp[1] = 1;

	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= i; j++)
		{
			dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
		}
	}
	return dp[n];
}
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