数据结构与算法详解——二叉查找树篇（附c++实现代码）_二叉树查找结点算法

二叉树相关概念和术语

  二叉树的递归定义为：二叉树是一棵空树，或者是一棵由一个根节点和两棵互不相交的，分别称作根的左子树和右子树组成的非空树；左子树和右子树又同样都是二叉树。

• 度：一个节点拥有子树的数目称为结点的度，叶子结点的度为0。
• 叶子结点：也称为终端结点，没有子树的结点或者度为零的结点。
• 结点的层次：从根结点开始，假设根结点为第1层，根节点的子结点为第2层，依此类推，如果某一个结点位于第L层，则其子结点位于第L+1层。
• 二叉树结点的深度：指从根节点到该结点的最长简单路径边的条数。
• 二叉树结点的高度：指从该节点到叶子结点的最长简单路径边的条数。

  结点A的度为2，结点C的度为1，叶子结点为GHIJKL，度都为0。
  结点的高度，深度，层数如图（注意高度和深度有的地方从0开始计数，有的地方从1开始计数）

二叉树特殊类型

  斜树不多赘述，一般是退化成链表的形式时导致性能下降的情形。
  完全二叉树：深度为k，有n个节点的二叉树当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中编号从1到n的节点一一对应时，称为完全二叉树（叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部）。
  满二叉树：如果一棵二叉树只有度为0的节点和度为2的节点，并且度为0的节点在同一层上。满二叉树是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树。

二叉树的存储

链式存储

template <typename T>
struct treeNode {
   
	T data;
	treeNode<T>* left;
	treeNode<T>* right;
};
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  结点的定义：存储的数据，左子树指针，右子树指针。

顺序存储

  我们把结点存储在数组中，父节点存储在下标为i的位置，那么左子树存储在2*i的位置，右子树存储在2*i+1的位置。举个例子，假设根结点存储在下标为i=1的位置，那么根结点的左子树存储在2*i=2的位置，根结点的右子树存储在2*i+1=3的位置，以此类推。

  上图是一颗完全二叉树，使用顺序存储存储率就比较高，或者说空间利用率比较高。假设上图没有结点F，那么下标为6的位置就置空，不存储数据。

二叉树的遍历

• 前序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。
• 中序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它本身，最后打印它的右子树。
• 后序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的右子树，最后打印这个节点本身。

  以上面顺序存储中的完全二叉树为例子，

• 前序遍历：ABDHIECFG
• 中序遍历：HDIBEAFCG
• 后序遍历：HIDEBFGCA

  递归实现

void preOrder(Node* root) {
   
  if (root == null) return;	//递归结束条件
  std::cout<<root->data<<std::endl;
  preOrder(root->left);
  preOrder(root->right);
}
 
void inOrder(Node* root) {
   
  if (root == null) return; //递归结束条件
  inOrder(root->left);
  std::cout<<root->data<<std::endl;
  inOrder(root->right);
}
 
void postOrder(Node* root) {
   
  if (root == null) return; //递归结束条件
  postOrder(root->left);
  postOrder(root->right);
   std::cout<<root->data<<std::endl;
}
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二叉查找树

  二叉查找树又叫二叉搜索树，二叉排序树。
  对于树中任意一个结点，左子树中的每一个结点的值都小于这个结点的值，右子树中的每一个结点的值都大于这个结点的值。下图就是一个二叉查找树的例子，可以看到根结点的左子树中每一个结点都小于12，根结点右子树中每一个结点都大于12。

查找

  假设我们要查找的值为value，我们从根结点开始，比较结点的值和value的大小：

• 如果结点的值等于value，返回
• 如果结点的值比value小，那么在左子树递归查找
• 如果结点的值比value大，那么在右子树递归查找

template<typename T>
treeNode<T>* binarySearchTree<T>::find(T data) {
   
	treeNode<T>* n = root;
	while (n != nullptr) {
   
		if (data > n->data)n = n->right;
		else if (data < n->data)n = n->left;
		else return n;
	}
	return nullptr;
}
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  这里使用了非递归的写法，逻辑应该是比较清晰了。

插入

  插入就是查找到一个能插入的位置，所以和上面查找的过程很类似。
  假设我们要插入的值为value，我们从根结点开始，比较结点的值和value的大小：

• 如果结点的值比value小，那么就看结点的右子树是否为空，如果为空就将value插入到结点的右子树，如果不为空就在右子树递归插入
• 如果结点的值比value大，那么就看结点的左子树是否为空，如果为空就将value插入到结点的左子树，如果不为空就在左子树递归插入

template<typename T>
void binarySearchTree<T>::insert(T data) {
   
	
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