贪心算法区间调度问题思路&代码&证明_区间调度贪心算法证明

1、活动安排问题

问题：有若干个活动，第i个开始时间和结束时间是[Si,fi)，只有一个教室，活动之间不能交叠，求最多安排多少个活动？

解题思路：将活动按照结束时间进行从小到大排序，挑选出结束时间尽量早的活动，并且满足后一个活动的起始时间晚于前一个活动的结束时间，全部找出这些活动就是最大的相容活动子集合。

C代码示例：

正确性证明：我们可以从贪心算法得到的结果集仅进行倒推。首先去掉结果集中的第一个活动A，那么在剩下的活动中，结束时间最早的活动B的结束时间一定不早于A,那么A活动在最优解中一定合理。再用同样的方式判断活动B,依次类推，则结果集就是最优解。

2、最小延迟问题

问题：顾客在饭店中点餐，ti 表示i顾客所有菜加工的时间，di 表示i顾客要求菜全部完成的时间。如果实际完成的时间小于规定完成时间，那么就没有延迟。由于有很多顾客，所以会有很多不同的拖延值，我们的目标是，求得所有拖延值中的最大值，并使得这个最大的拖延值最小。

解题思路：使用贪心算法，按照截止时间ddl排序，越早截止的任务越早完成。该算法是一个没有空闲的最优调度，即从时刻0开始都有在处理请求，直到最后一个请求执行完释放资源之后才空闲。

C代码示例：

const int MAX_SIZE = 100;
struct Request {
  int time, ddl;
  int begin, end;
} req[MAX_SIZE];
bool operator<(const Request& req1, const Request& req2) {
  return req1.ddl < req2.ddl;
}
int main() {
  int requestNum;
  cin >> requestNum;
  for (int i = 0; i < requestNum; ++i) {
    cin >> req[i].time >> req[i].ddl;
  }
  sort(req, req + requestNum);  //按照截止时间进行顺序排序
  int start = 0, maxDelay = 0;
  for (int i = 0; i < requestNum; ++i) {
    req[i].begin = start;
    req[i].end = start + req[i].time;
    start += req[i].time;
    if (maxDelay < req[i].end - req[i].ddl) {
      maxDelay = req[i].end - req[i].ddl;
    }
  }
  cout << "最小的最大延迟: " << maxDelay << endl;
  return 0;
}

正确性证明：

3、多区间调度问题

问题：有很多间课室，某个周末有多个社团需要申请课室办活动，每个社团都有一个对应的申请时间（包括开始时间和结束时间），求最少需要多少间课室才能够满足所有社团的需求(在这个问题之中时间重叠的社团需要安排在其他课室，即会使用到多个资源，需要考虑多个资源上的调度安排，故称为多区间调度)。

解题思路：使用贪心算法，将需求按照开始时间的早晚进行排序，然后开始为这些资源打标签，每个标签代表都一个资源，需求req-i被打上标签k表示该请求分配到的资源是k。遍历排序后的需求，如果一个需求与某个已分配资源上的其他安排不冲突，则把该需求也放进该资源的安排考虑中；如果冲突，那么应该要给此需求分配新的资源，已用资源数量加一。

C++代码示例：

const int MAX_SIZE = 100;
struct Request {
  int begin, end, tag;
} req[MAX_SIZE];
bool operator<(const Request& req1, const Request& req2) {
  return req1.begin < req2.begin;
}
int main() {
  int requestNum;
  cin >> requestNum;
  for (int i = 0; i < requestNum; ++i) {
    cin >> req[i].begin >> req[i].end;
  }
  sort(req, req + requestNum);
int tagSize = 1;
  req[0].tag = 0;
  bool tags[MAX_SIZE];
  for (int i = 1; i < requestNum; ++i) {
    memset(tags, 1, sizeof(tags));
    for (int j = 0; j < i; ++j) {
      if (req[j].end > req[i].begin) {
        tags[req[j].tag] = false;
      }
    }
    bool isTagsEmpty = true;
    int tag;
    for (int j = 0; j < tagSize; ++j) {
      if (tags[j]) {
        isTagsEmpty = false;
        tag = j;
        break;
      }
    }
    if (isTagsEmpty) {
      req[i].tag = tagSize;
      ++tagSize;
    } else {
      req[i].tag = tag;
    }
  }
  cout << "最小资源使用量: " << tagSize << endl;
  return 0;
}