我家小花儿

这个屌丝很懒，什么也没留下！

热门标签

线性变换（2）——特征值与特征向量_线性变换的特征值

作者：我家小花儿 | 2024-03-26 23:17:33

踩

线性变换的特征值

前情提要：

$gif.latex?V%3DL%28%5Calpha_%7B1%7D%29%5Coplus%20...%5Coplus%20L%28%5Calpha_%7Bn%7D%29$ ， $gif.latex?%5Calpha_%7B1%7D%2C...%2C%5Calpha_%7Bn%7D%5Cleft%20%28%201%20%5Cright%20%29$ 是 $gif.latex?V%5E%7BF%7D$ 的一个基，则

$gif.latex?L%28%5Calpha_%7Bi%7D%29$ 是 $gif.latex?%5Csigma-$ 子空间 $gif.latex?%5CLeftrightarrow$ $gif.latex?%5Csigma$ 在（1）下的矩阵为对角阵

特征值与特征向量

1.定义： $gif.latex?%5Csigma%20%5Cin%20L%28V%5E%7BF%7D%29%2C%5Clambda%20%5Cin%20F%2C0%5Cneq%20%5Calpha%20%5Cin%20V%5E%7BF%7D$ ，若 $gif.latex?%5Csigma%28%5Calpha%29%3D%5Clambda%20%5Calpha$ ，则称 $gif.latex?%5Clambda$ 为 $gif.latex?%5Csigma$ 的一个特征值, $gif.latex?%5Calpha$ 为 $gif.latex?%5Csigma$ 的属于特征值 $gif.latex?%5Clambda$ 的一个特征向量

例一： $gif.latex?%5Csigma%20%5Cin%20L%28V%5E%7BF%7D%29%2C%5Cforall%20%5Calpha%20%5Cin%20V%5E%7BF%7D%2C%5Csigma%28%5Calpha%29%3Dk%5Calpha%2Ck%5Cin%20F$

$gif.latex?%5Csigma$ 一定有特征值k， $gif.latex?V%5E%7BF%7D$ 中任一非零向量都是属于k的特征向量

例二： $gif.latex?%5Csigma%28f%28x%29%29%3Dxf%28x%29%2Cf%28x%29%5Cin%20F%5Bx%5D%2C%5Csigma%20%5Cin%20L%28F%5Bx%5D%29$

无特征值

2.性质：

1）一个特征向量只属于一个特征值，一个特征值可对于无穷多个特征向量

2） $gif.latex?0%5Cneq%20%5Clambda$ 为 $gif.latex?%5Csigma$ 的特征值， $gif.latex?%5Csigma$ 可逆，则 $gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clambda%7D$ 为 $gif.latex?%5Csigma%5E%7B-1%7D$ 的特征值

3） $gif.latex?%5Clambda$ 为 $gif.latex?%5Csigma$ 的特征值， $gif.latex?f%28x%29%5Cin%20F%5Bx%5D$ ， $gif.latex?f%28%5Clambda%29$ 为 $gif.latex?f%28%5Csigma%29$ 的一个特征值

4） $gif.latex?%5Cxi$ 生成一维 $gif.latex?%5Csigma-$ 子空间 $gif.latex?%5CLeftrightarrow$ $gif.latex?%5Cxi$ 是 $gif.latex?%5Csigma$ 的特征向量

5） $gif.latex?V_%7B%5Clambda%7D%3D%5Cleft%20%5C%7B%20%5Calpha%20%5Cin%20V_%7BF%7D%5Cmid%20%5Csigma%28%5Calpha%29%3D%5Clambda%20%5Calpha%20%5Cright%20%5C%7D$ 是 $gif.latex?%5Csigma-$ 子空间

特征值与特征向量的求法

$gif.latex?%5Csigma$ 在 $gif.latex?%5Calpha_%7B1%7D%2C...%2C%5Calpha_%7Bn%7D%5Cleft%20%28%201%20%5Cright%20%29$ 下的矩阵A
求特征方程 $gif.latex?%5Cleft%20%7C%20%5Clambda%20I-A%20%5Cright%20%7C%3D0$ 的解，即求得 $gif.latex?%5Csigma$ 的特征值
解齐次线性方程组 $gif.latex?%28%5Clambda%20I-A%29X%3D0$ 的解空间的一个基，即解得的属于特征值 $gif.latex?%5Clambda$ 的一个特征向量在(1)的坐标，即得 $gif.latex?%5Csigma$ 的属于 $gif.latex?%5Clambda$ 的全部特征向量

例1: $gif.latex?%5Csigma%20%5Cin%20L%28F_%7Bn%7D%5Bx%5D%29%2C%5Csigma%3Af%28x%29%5Crightarrow%20f%7B%7D%27%28x%29$

求 $gif.latex?%5Csigma$ 的特征值和特征向量

$gif.latex?F_%7Bn%7D%5Bx%5D$ 的一个基： $gif.latex?1%2Cx%2C...%2Cx%5E%7Bn%7D$

$gif.latex?A%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200%20%26%201%20%26%200%20%26%200%20%26%200%5C%5C%200%20%26%200%26%202%20%26%200%20%26%200%5C%5C%200%20%26%200%20%26%200%20%26%20...%20%26%200%5C%5C%200%26%200%20%26%200%20%260%20%26%20n%5C%5C%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%260%20%5Cend%7Bpmatrix%7D$

$gif.latex?%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20%5Clambda%26%20-1%20%26%200%26%200%20%260%20%5C%5C%200%20%26%20%5Clambda%20%26%20-2%20%26%200%20%260%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%20%5Clambda%20%26%20...%260%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%200%20%26%20...%26%20-n%5C%5C%200%20%26%200%26%200%20%26%200%20%26%20%5Clambda%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%3D%5Clambda%20%5E%7Bn+1%7D%3D0$

$gif.latex?%5CRightarrow%20%5Clambda_%7B1%7D%3D...%3D%5Clambda_%7Bn%7D%20%3D0$

基础解系（1,0,...,0）

特征向量为1

全体特征向量为k（属于0），其中k为F中任意的非零数

ex1. 已知 $gif.latex?%5Csigma%20%5Cin%20L%28%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B3%7D%29%2C%5Calpha_%7B1%7D%2C%5Calpha_%7B2%7D%2C%5Calpha_%7B3%7D%281%29$ 为 $gif.latex?%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B3%7D$ 的一个基

$gif.latex?%5Csigma$ 在(1)下的矩阵为

$gif.latex?A%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%203%20%26%203%20%26%202%5C%5C%201%20%26%201%20%26%20-2%5C%5C%20-3%20%26%201%20%26%200%20%5Cend%7Bpmatrix%7D$

求 $gif.latex?%5Csigma$ 的特征值和特征向量

watermark,type_d3F5LXplbmhlaQ,shadow_50,text_Q1NETkB6ZWRreXg,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16

声明：本文内容由网友自发贡献，不代表【wpsshop博客】立场，版权归原作者所有，本站不承担相应法律责任。如您发现有侵权的内容，请联系我们。转载请注明出处：https://www.wpsshop.cn/w/我家小花儿/article/detail/320270