- 1windows配置检查_启用syn攻击保护
- 2python+flask+vue协同过滤的电影评分推荐系统-影评网站_电影推荐功能flask实现吗
- 3关于国土空间交通专项规划体系框架与编制要点的思考
- 4【华为OD机试真题 C语言】444、会议室占用时间 | 机试真题+思路参考+代码解析（C卷）（本题100%）
- 5Cannot change version of project facet Dynamic Web Module to 3.0 动态web项目错误处理
- 62010年之前电脑ubuntu安装nvidia驱动黑屏处理
- 7OceanBase学习笔记之分区与索引_oceanbase分区
- 8六自由度Stewart并联机器人运动学逆解（MATLAB学习）_六自由度stewart平台的matlab可视化模型
- 9基于FPGA的以太网传输图片通过HDMI显示（含源码）_hdmi显示中ddr的作用
- 10微信小程序向新版OneNet云平台发送get请求_微信小程序连接新版onenet
Box-Muller变换原理详解_boxmuller变换
赞
踩
Box-Muller变换
Box-Muller变换是通过服从均匀分布的随机变量，来构建服从高斯分布的随机变量的一种方法。具体的描述为：选取两个服从
[
0
,
1
]
[0,1]
[0,1]上均匀分布的随机变
U
1
U1
U1、
U
2
U2
U2，
X
X
X、
Y
Y
Y满足
X
=
c
o
s
(
2
π
U
1
)
−
2
ln
U
2
X=cos(2\pi U_1)\sqrt{-2\ln U_2}
X=cos(2πU1)−2lnU2
Y
=
s
i
n
(
2
π
U
1
)
−
2
ln
U
2
Y=sin(2\pi U_1)\sqrt{-2\ln U_2}
Y=sin(2πU1)−2lnU2
则 X X X与 Y Y Y服从均值为0，方差为 1 1 1的高斯分布。
原理详解
假定
X
X
X、
Y
Y
Y服从均值为
0
0
0，方差为
1
1
1的高斯分布，且相互独立。令
p
(
X
)
p(X)
p(X)和
p
(
Y
)
p(Y)
p(Y)分别为其密度函数，则
p
(
X
)
=
1
2
π
e
−
X
2
2
,
p
(
Y
)
=
1
2
π
e
−
Y
2
2
p(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{X^2}{2}}, p(Y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{Y^2}{2}}
p(X)=2π
1e−2X2,p(Y)=2π
1e−2Y2SHISHUAI0com
由于
X
X
X,
Y
Y
Y相互独立，因此它们的联合概率密度满足
p
(
X
,
Y
)
=
1
2
π
e
−
X
2
+
Y
2
2
p(X,Y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{X^2+Y^2}{2}}
p(X,Y)=2π
1e−2X2+Y2
将
X
X
X、
Y
Y
Y作坐标变换，使
X
=
R
c
o
s
(
θ
)
,
Y
=
R
s
i
n
(
θ
)
X=Rcos(\theta), Y=Rsin(\theta)
X=Rcos(θ),Y=Rsin(θ)
则
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
1
2
π
e
−
X
2
+
Y
2
2
d
X
d
Y
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
1
2
π
e
−
R
2
2
R
d
θ
d
R
=
1
\int^\infty_{-\infty}\int^\infty_{-\infty}\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{X^2+Y^2}{2}}dXdY=\int^\infty_{-\infty}\int^\infty_{-\infty}\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{R^2}{2}}Rd\theta dR=1
∫−∞∞∫−∞∞2π1e−2X2+Y2dXdY=∫−∞∞∫−∞∞2π1e−2R2RdθdR=1
由此可得
R
R
R与
θ
θ
θ的分布函数
P
R
P_R
PR与
P
θ
P_θ
Pθ
P
R
(
R
≤
r
)
=
∫
0
2
π
∫
0
r
1
2
π
e
−
R
2
2
R
d
θ
d
R
=
1
−
e
−
r
2
2
P_R(R\le r)=\int^{2\pi}_0\int^r_0\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{R^2}{2}}Rd\theta dR=1-e^{-\frac{r^2}{2}}
PR(R≤r)=∫02π∫0r2π1e−2R2RdθdR=1−e−2r2
P
θ
(
θ
≤
ϕ
)
=
∫
0
ϕ
∫
0
∞
1
2
π
e
−
R
2
2
R
d
θ
d
R
=
ϕ
2
π
P_\theta(\theta\le \phi)=\int^{\phi}_0\int^{\infty}_0\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{R^2}{2}}Rd\theta dR=\frac{\phi}{2\pi}
Pθ(θ≤ϕ)=∫0ϕ∫0∞2π1e−2R2RdθdR=2πϕ
显然，
θ
\theta
θ服从
[
0
,
2
π
]
[0,2\pi]
[0,2π]上的均匀分布。令
F
R
(
r
)
=
1
−
e
−
r
2
2
F_R(r)=1-e^{-\frac{r^2}{2}}
FR(r)=1−e−2r2
则其反函数
R
=
F
R
−
1
(
z
)
=
−
2
ln
(
1
−
z
)
R=F_R^{-1}(z)=\sqrt{-2\ln(1-z)}
R=FR−1(z)=−2ln(1−z)
当z服从
[
0
,
1
]
[0,1]
[0,1]上均匀分布时，
R
R
R的分布函数为
F
R
(
r
)
F_R(r)
FR(r)。因此可以选取两个服从
[
0
,
1
]
[0,1]
[0,1]上均匀分布的随机变量
U
1
U_1
U1、
U
2
U_2
U2，使得
θ
=
2
π
U
1
,
1
−
z
=
U
2
,
即
R
=
−
2
ln
U
2
\theta=2\pi U_1, 1-z=U_2, 即R=\sqrt{-2\ln U_2}
θ=2πU1,1−z=U2,即R=−2lnU2
将此带入
X
=
R
c
o
s
(
θ
)
,
Y
=
R
s
i
n
(
θ
)
X=Rcos(\theta), Y=Rsin(\theta)
X=Rcos(θ),Y=Rsin(θ)
即可得到最初的两个关于X与Y的表达式，它们服从均值为0，方差为1的高斯分布。
