Verilog 数学运算_verilog位与运算

1 原码、反码、补码

1.1 原码

原码是最直观的表示方法，它将一个数的符号和大小分开表示。
在一个n位的二进制数中，最高位（最左边的位）用作符号位，0表示正数，1表示负数。
剩下的n-1位表示数值的大小（绝对值）。
例如，对于8位二进制数，+3的原码表示为00000011，而-3的原码表示为10000011。

1.2 反码

反码是原码的一种变体，用于简化二进制加法运算。
对于非负数，反码与其原码相同。
对于负数，反码是将其原码中的所有位取反（0变1，1变0），但符号位保持不变。
例如，+3的反码仍然是00000011，而-3的反码是11111100。

1.3 补码

补码是现代计算机系统中最常用的表示有符号数值的方法。
对于非负数，补码与其原码和反码相同。
对于负数，补码是将其反码加1。
补码的一个重要特性是它允许使用相同的加法硬件电路来执行减法。在补码系统中，两个数的加法结果如果溢出，那么它实际上是两个数的和减去2的n次方（n是位数）。
例如，+3的补码是00000011，而-3的补码是11111101（即11111100加1）。
补码的另一个特性是它消除了负零的概念，即-0的补码表示与0的补码表示相同。
在补码系统中，所有的算术运算（加、减、乘、除）都可以统一处理，这大大简化了计算机的硬件设计。此外，补码也使得比较操作更加直观，因为可以直接比较两个数的二进制表示，而不需要额外的逻辑来处理符号。

2 加减法

无符号数计算需要注意进位。
 

reg [7:0] a = 127;
 
reg [7:0] b = 127;
 
reg [8:0] c;
 
always@(posedge clk)
 
c <= a + b;

有符号数计算需要注意复制符号位

reg [7:0] a = -5;
 
reg [7:0] b = -6;
 
reg [8:0] c;
 
always@(posedge clk)
 
c <={a[7], a} + {b[7], b};

2.1 注意事项

数据位宽：确保加法器的输入和输出数据位宽一致，以便正确执行加法运算。如果输入数据位宽不一致，需要进行位宽扩展或截断。
溢出处理：当加法运算的结果超出了数据位宽所能表示的范围时，会发生溢出。在设计加法器时，需要考虑如何处理溢出，例如使用符号扩展或饱和运算。

减法运算，实质是 a-b可转换为 a + b(补码)

2.2 signed关键词

2.2.1 简介

在Verilog中，signed 关键字用于指定变量的符号。在数字系统中，数据可以是有符号的（signed）或无符号的（unsigned）。有符号数据可以表示正数、负数和零，而无符号数据只能表示非负数（包括零）。

在Verilog中，如果你不指定signed或unsigned，那么默认情况下，所有的整数（integer）和reg类型的变量都是无符号的。当你需要处理有符号数时，你可以在声明变量时使用signed关键字。例如：

reg signed [7:0] a; // 8位有符号寄存器
reg [7:0] b; // 8位无符号寄存器，默认

在这个例子中，a是一个8位的有符号寄存器，它可以存储的值范围是从-128到127（因为8位二进制可以表示256个不同的值，其中128个用于表示负数，0到127用于表示正数）。而b是一个8位的无符号寄存器，它可以存储的值范围是从0到255。

有符号数和无符号数不能混合运算，否则容易出错。

3 绝对值 与 恢复原值

3.1 绝对值

绝对值是一个数去掉符号位的值。在Verilog中，可以使用条件判断语句来实现绝对值的计算。对于一个二进制数，如果最高位（符号位）为1，则表示这个数是负数，我们需要将其取反并加1来得到绝对值。如果最高位为0，则表示这个数是非负数，直接使用原值即可。

以下是一个计算4位二进制数绝对值的Verilog代码示例：

module absolute_value(
  input [3:0] a,  // 输入信号
  output [3:0] abs_a  // 输出绝对值
);
 
always @(*) begin
  if (a[3]) begin  // 如果最高位为1，表示负数
    abs_a = ~a + 1;  // 取反加1得到绝对值
  end else begin
    abs_a = a;  // 如果最高位为0，直接使用原值
  end
end
 
endmodule

3.2 恢复原值

module SignExtension(
    input wire clk,           // 时钟信号
    input wire a_sign,        // 符号位，1表示负数，0表示非负数
    input wire [6:0] a_abs,   // 绝对值部分
    output reg [7:0] a        // 输出的有符号数
);
 
// always块在时钟上升沿触发时执行
always @(posedge clk) begin
    // 根据a_sign的值来决定是否进行二进制补码操作
    a <= a_sign ? (~{1'b0, a_abs} + 1) : {1'b0, a_abs};
end
 
endmodule

它将一个7位的无符号数a_abs和一个符号位a_sign扩展为一个8位的有符号数a。在时钟上升沿，模块会检查a_sign的值，如果为1，则将a_abs视为负数的绝对值，进行二进制补码运算得到a(此时为负数)；如果为0，则直接将a_abs的最高位补0得到a。

4 浮点数

4.1 简介

浮点数是一种用于近似表示实数的数学表达方式，它在计算机科学和工程领域中广泛使用。浮点数的设计目的是为了在有限的数字精度下，能够表示非常大或非常小的数值，以及它们之间的比率。

浮点数通常由三个部分组成：符号位（Sign）、指数（Exponent）和尾数（Mantissa 或 Fraction）。

1. 符号位：表示数值的正负。通常用一个位（bit）来表示，0代表正数，1代表负数。

2. 指数：表示数值的范围或大小。它是一个二进制数，用于表示数值的指数部分。在科学计数法中，一个数可以表示为M × 2^E的形式，其中M是尾数，E是指数。在浮点数表示中，指数部分用于存储E的值，通常采用偏移量（bias）的方式来编码，以便于处理。

3. 尾数（或小数部分）：表示数值的精确度。它是数值的主体部分，通常以二进制小数的形式表示。在科学计数法中，它对应于M的部分

浮点数的表示遵循IEEE 754标准，这是一个国际标准，定义了浮点数的格式和计算规则。根据这个标准，最常见的浮点数格式有两种：

• 单精度浮点数（32位）：由1位符号位、8位指数和23位尾数组成。
• 双精度浮点数（64位）：由1位符号位、11位指数和52位尾数组成。

4.2 移码

在浮点数的表示中，指数部分通常使用一种称为“二进制指数”（Binary Exponent）的格式。为了简化计算和存储，指数部分并不是直接存储为实际的数值，而是存储为一个经过编码的值，这就是所谓的“移码”。

移码的工作原理如下：

• 偏移量（Bias）：在二进制指数系统中，为了避免负指数的出现（因为负指数在二进制中不易表示），通常会引入一个偏移量。这个偏移量是一个固定的值，它被加到实际的指数值上，使得所有的指数值都是非负的。
• 编码：实际的指数值加上偏移量后，得到的值就是移码。这个移码会被存储在浮点数的指数部分。
• 解码：当需要使用这个指数值时，计算机会从存储的移码中减去偏移量，得到实际的指数值。

举个例子，假设我们有一个浮点数，其实际指数值为-3。如果我们使用的是单精度浮点数（32位），其偏移量通常是127。那么，这个指数值的移码就是 -3 + 127 = 124。这个124（二进制表示）就会被存储在浮点数的指数部分。当计算机需要这个指数值时，它会从124中减去127，得到-3。假设其指数部分为3，在移码表示中，我们需要将3加上偏移量127，得到130，然后将130转换为二进制表示，即10000010。这样，我们就得到了指数部分的移码表示。

5 定点数

5.1 简介

定点数是一种在计算机系统中表示数值的方法，它将数值的整数部分和小数部分固定在特定的位数上。在定点数表示法中，数值被分为几个部分：符号位、指数位（或称为阶码位）和尾数位（或称为有效数字位）。这种表示法与浮点数表示法不同，浮点数允许小数点的位置在数值中动态变化。

5.2 特点

固定小数点：在定点数表示法中，小数点的位置是固定的，这意味着数值的精度和范围是有限的。例如，一个8位的定点数可能由1位符号位、3位整数位和4位小数位组成。

简化计算：由于小数点位置固定，定点数的加、减、乘、除等运算相对简单，不需要像浮点数那样进行小数点的移动和舍入。

有限精度：定点数的精度受限于其位数。例如，一个8位的定点数可能无法精确表示大于1或小于0.125的数值。

应用场景：定点数常用于嵌入式系统、微控制器和其他资源受限的环境中，因为它们可以提供快速且资源消耗较低的数值计算。

定点数的表示形式通常有两种：

• 定点整数：小数点固定在最右边，所有的位都用于表示整数部分。
• 定点小数：小数点固定在某个位置，分为整数位和小数位。

5.3 表示

假设我们有一个8位的数字，我们可以将其分为两部分，5位用于整数部分，3位用于小数部分。例如：

 二进制表示:  1 0 1 1 0 . 1 0 1
 对应的十进制: 32 + 16 + 8 + 0.5 + 0.125 = 56.625
小数点左侧的每一位代表2的幂次，从右到左依次是2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4。小数点右侧每一位代表2的负幂次，从左到右依次是2^-1,  2^-3。