python统计分析——逻辑回归_sm.families.binomial

参考资料：用python动手学统计学

        逻辑回归即logistic回归。概率分布为二项分布、联系函数为logit函数的广义线性模型叫作logistic回归。解释变量可以有多个，连续型和分类型的解释变量也可以同时存在。

1、logit函数

        logit函数的数学式如下，对数的底为e：

2、反函数

        已知函数f(a)=b，交换a与b的关系，得到g(b)=a，g(x)就是f(x)的反函数。

3、logistic函数

        logistic函数时logit函数的反函数，设Logit函数为f(x)，logistic函数为g(x)，则g(f(x))=x。

        logistic函数的数学式如下：

4、logistic函数的性质

        指数函数exp(-y)不可能小于0，所以logistic函数的分布不可能小于1。y越小，exp(-y)越大。当分母很大时，logistic函数的值趋向于0。总结如下

当y趋向于正无穷时，g(y)趋向于1；当y趋向于负无穷时，g(y)趋向于0。

logistic函数的值永远介于0和1之间。

5、logistic回归的推导

        logistic回归的概率分布为二项分布，联系函数为logit函数。

        设成功概率（即考试合格率）为p，联系函数为logit函数，则考试合格率与学习时间的关系如下：（本例将研究考试合格情况与学习时间的逻辑回归关系）

        将两边转化为logistic函数，得到：

        这就是用于预测合格率的数学式。

6、python实现

6.1 导入库

# 导入库
# 用于数值计算的库
import numpy as np
import pandas as pd
import scipy as sp
from scipy import stats
# 导入绘图的库
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set()
# 用于估计统计模型的库
import statsmodels.formula.api as smf
import statsmodels.api as sm

6.2 数据准备

test_result=pd.read_csv(r"文件目录")

6.3 数据展示

        以横轴为学习时间（hour）、纵轴为合格率（result），绘制出学习时间与合格率关系的条形图。

sns.barplot(x='hours',y='result',data=test_result)

         在条形图中，纵轴的值为均值。合格为1，不合格为0，因此均值可看作合格率。由图形可以看出，学习时间越长，合格率越高。

6.4 拟合logistic回归

mod_glm=smf.glm(formula='result~hours',
                data=test_result,
                family=sm.families.Binomial()).fit()

        在进行广义线性模型估计时，不管是不是logistic回归模型，都需要使用smf.glm函数。参数介绍如下：

（1）formula参数与估计正态线性模型时所用的一样。参数值为“result ~ hours”，代表响应变量为result，解释变量为hours。当存在多个解释变量时，使用加号连接。

（2）data参数代表数据源，要求为dataframe格式。

（3）family参数代表概率分布。sm.families.Binomial()为二项分布，sm.families.Poisson()为泊松分布。本例没有指定联系函数。当概率分布为二项分布时，联系函数默认为logit函数。不同的概率分布默认的联系函数也不同。泊松分布默认的联系函数为对数函数。我们也可以通过sm.families.Binomial(link=sm.families.links.logit)显式指定联系函数。

6.5 logistic回归的结果

mod_glm.summary()

        Method中的IRLS为迭代加权最小二乘法的英文 Iterative Reweighted Least Squares的缩写。算法中的迭代次数为No.Iterations。

        Deviance与Pearson chi2是表示模型拟合程度的指标。

        Wald检验用于对系数的解读。

6.6 模型的选择

        下面使用AIC对比空模型和包含解释变量（学习时间）的模型哪个更合适。

# 估计空模型
mod_glm_null=smf.glm('result~1',
                    data=test_result,
                    family=sm.families.Binomial()).fit()
# 对比AIC
print('空模型：',mod_glm_null.aic.round(3))
print('包含解释变量的模型：',mod_glm.aic.round(3))

        包含解释变量的模型的AIC更小，说明在预测合格率是需要学习时间这个解释变量。由6.5的结果可知学习时间的系数为正数，说明学习时间越长，合格率越高。

6.7 回归曲线

        以横轴为学习时间、纵轴为合格情况（二值变量）绘制散点图，并在其上绘制有logistic回归所得的理论合格率。设置函数seaborn.lmplot的参数logistic=True，即可绘制出指定图形。

sns.lmplot(x='hours',y='result',
          data=test_result,
          logistic=True,
          x_jitter=0.1,y_jitter=0.02)

        合格的数据全是0或1，在图形上会重合，因而这里制订了x_jitter与y_jitter，以让散点图的数据在图形上稍微分散一些。

6.8 预测

# 建立0-9的公差为1的等差数列
exp_val=pd.DataFrame({
    'hours':np.arange(0,10,1)
})
# 成功概率的预测值
pred=mod_glm.predict(exp_val)
pred

        由预测结果可以看出，不学习的合格率只有1%，学习9小时的合格率接近为98%。得到要么为0要么为1的值，只需要对小数点后1位四舍五入，数值只要不小于0.5就是合格。

7、优势

        要解读logistic回归模型中估计的参数，还需要掌握一个术语。

        成功概率与失败概率的比值叫做优势，它表示是否容易成功，其数学式表示为：优势=p/(1-p)。其中p为成功概率。当p=0.5时，有时为1，表示成功和失败的容易程度相当；当p=0.75时，优势为3，表示成功比失败容易3被。

        优势的对数叫作对数优势，logit函数也可以看作将成功概率转换为对数优势的函数。

        优势的比值叫做优势比。优势比的对数叫作对数优势比。

8、logistic回归的系数与优势比的关系

        当联系函数为logit函数时，logistic回归的系数与有时密切相关。具体来说解释变量改变一个单位时的对数优势比就是回归系数。