1.基本操作即只有常数项，认为其时间复杂度为0(1)
2.顺序结构，时间复杂度按加法进行计算
3.循环结构，时间复杂度按乘法进行计算
4.分支结构，时间复杂度取最大值
5.判断一个算法效率时，往往只需要关注操作数量的最高次项，其他次要项和常数项可以忽略
6.在没有特殊说明时，我们所分析的时间复杂度都是指最坏时间复杂度

1.4例子

1.4.1


i = n*n;
whlie(i != 1)
    i = i/2;

第一步：列出循环趟数t与每轮循环i的变化值

t	0	1
i	n^2	n^2/2

第二步：找到t与i的关系

t = n^2/2*i

第三步：确定循环停止条件

i ==1

第四步：联立2，3步解方程

t = 2 $\log$ 2n

1.4.2


x = 0；
while (n>=(x+1)*(x+1))
    x = x+1;

第一步：列出循环趟数t与每轮循环x的变化值

t	0	1
x	0	1

第二步：找到t与x的关系

t = x

第三步：确定循环停止条件

n = (x+1)^2

第四步：联立2，3步解方程

n = (t+1)^2

t=根号n-1

T=根号n

1.4.3


int i = 1;
while (i<=n)
    i = i *2

第一步：列出循环趟数t与每轮循环i的变化值

t	0	1
i	1	2

第二步：找到t与i的关系

i=2^t

第三步：确定循环停止条件

i=n

第四步：联立2，3步解方程

t= $\log_{2}$ N

1.4.4


y = 0;
while (y+1)*(y+1) <= n
    y = y+1;

第一步：列出循环趟数t与每轮循环y的变化值

t	0	1
y	0	1

第二步：找到t与i的关系

t = y

第三步：确定循环停止条件

n = (y+1)^2

第四步：联立2，3步解方程

n = (y+1)^2

T=根号n

1.4.5


int m=0,i,j;
for (i=1;i<=n;i++)
    for(j=1;j<=2*i;j++)
        m++;

第一步：列出每轮循环i的变化

第二步：列出内层语句循环次数

i	1	2
内层语句循环次数	2	4

第三步：求和

2+4+6+...+2n=n(n+1)

O(n^2)

1.4.6


for (i=0;i<n;i++)
    for(j=0;j<m;j++)
        a[i][j] = 0;

第一步：列出每轮循环i的变化

第二步：列出内层语句循环次数

i	1	2	3	4	...	n-1
层语句循环次数	m	m	m	m	...	m

第三步：求和

m*n

O(mn)

1.4.7


count = 0;
for (k=1;k<=n;k*=2)
    for(j=1;j<=n;j++)
        count ++;

这里不再是++，因此要先用t求出-=k

t	1	2	3	4
k	1	2	4	8

k=2^t-1

一层：t= $\log_{2}$ k+1

一共有n层

T= O(n $\log_{2}$ n)

1.4.8


// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
 for (int j = 0; j < N ; ++ j)
 {
 ++count;
 }
}
 
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
 ++count;
}
 
int M = 10;
while (M--)
{
 ++count;
}
 
printf("%d\n",count);
}

t=n^2+2n+10

T=O(n^2)

1.4.9


// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 
 int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;
 }
 
 printf("%d\n", count);
}

t=2n+10

T=O(n)

1.4.10


// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

t=m+n

T=O() (如果m远大于n就是O(m)，如果n远大于m就是O(n)）

1.4.11


// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

T=O(1)

1不是次数，而是表示常数

1.4.12


for (i=n-1;i>=1;i--)
    for(j=1;j<=i;j++)
        if A[j] > A [j+1]
            A[j]与A[j+1]交换;

第一步：列出每轮循环i的变化

第二步：列出内层语句循环次数

i	n-1	n-2	n-3	n-4	...	2
层语句循环次数	n-2	n-3	n-4	n-5	...	1

第三步：求和

(n-2+1)/2*(n-2)

O(n^2)

1.4.13


for(i=0;i<=n;i++)
    for(j=0;j<=i;j++)
        for(k=0;k<j;k++)

T=O(n^3)

二.空间复杂度

2.1定义

是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用额外存储空间大小的量度

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

2.2推导大O阶方法

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项系数存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

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