代码随想录算法训练营第三十八天 | 动态规划

动态规划理论基础

如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的

动态规划是由前一个状态推导出来的，而贪心是局部直接选最优

• 动态规划的解题步骤

1. 确定dp数组以及下标的含义
2. 确定递归公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 距离推导dp数组

509. 斐波那契数

斐波那契数（通常用 F(n)表示）形成的序列称为 斐波那契数列。该数列由 0和 1开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

思路一：递归

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if(n==0){
            return 0;
        }else if(n==1){
            return 1;
        }
        return fib(n-1)+fib(n-2);
    }
}

思路二：动规

动规五部曲：

1.确定dp数组以及下标含义

dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契的数值为dp[i]

2. 确定递归公式

dp[i]=dp[i-2]+dp[i-1]

3. dp数组初始化

dp[0]=0;

dp[1]=1;

4. 确定遍历顺序

dp[i]依赖dp[i-1]和dp[i-2]，所以遍历顺序一定是从前到后遍历的

5. 举例推导dp数组

N为10的时候，dp数组应该如下举例

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if(n<=1){
            return n;
        }
        int[] dp=new int[n+1];
        dp[0]=0;
        dp[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            dp[i]=dp[i-2]+dp[i-1];
        }
        return dp[n];
    }
}

70. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

首先可以看出1阶的方式为1，2阶的方式为2，3阶就是爬2阶+1阶，一次往下类似。。。

动规五部曲：

1. 确定dp数组及下标含义

dp[i]为第i个解题所爬楼的所有方式为dp[i]

2. 确定递归公式

dp[i]=dp[i-2]+dp[i-1]

3. dp数组初始化

dp[1]=1;

dp[2]=2;

4. 确定遍历顺序

同样需要依赖前面的值，所以从前向后遍历

5. 举例推导dp数组

当n=4的时候

1 2 3 5(满足条件，n=4的时候[1,1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[2,1,1],[2,2])

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n<=1){
            return n;
        }
        int[] dp=new int[n+1];
        dp[1]=1;
        dp[2]=2;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            dp[i]=dp[i-2]+dp[i-1];
        }
        return dp[n];
    }
}

746. 使用最小花费爬楼梯

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 15 。

动规五部曲

1. 确定dp数组及下表意义

dp[i]表示到达第i层所需要的最低花费为dp[i]

2. 确定递归公式

确定dp[i]需要dp[i-1]和dp[i-2]所决定

dp[i-1]跳到dp[i]需要dp[i-1]+cost[i-1]

dp[i-2]跳到dp[i]需要dp[i-2]+cost[i-2]

所以跳到dp[i]的最低花费为min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2])

3. dp数组初始化

pd[0]=0;

pd[1]=0;

4. 确定遍历顺序

dp[i]需要由dp[i-1]和dp[i-2]所确定，所以从前向后遍历

5. 举例推导dp数组

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int len=cost.length;
        int[] pd=new int[len+1];
        pd[0]=0;
        pd[1]=0;
        
        for(int i=2;i<=len;i++){
            pd[i]=Math.min(pd[i-2]+cost[i-2],pd[i-1]+cost[i-1]);
        }
        return pd[len];
 
    }
}