数据结构-树（大话数据结构笔记）_语法树为什么不会醉在只有左子树没有右子树的情况

树的基本概念：

树是n个结点的有限集，n = 0的时候称为空树。在任意一颗非空树种：

（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；

（2）当n >1的时候，其余结点可以分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、....、Tm。其中每一个集合本身又是一颗树，并且称为根的子树。

结点分类：

树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。 结点拥有的子树数称为结点的度 。度为0 的结点称为叶结点或终端结点;度不为0的结点 称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。

结点间的关系：

结点的子树的根称为该结点的孩子，相应地，该结点称为孩子的双亲。同一个双亲的孩子之间互称兄弟。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。

树的其他相关概念：

结点的层次从根开始定义起，根为第一层。根的孩子为第二层 。若某结点在第l层，则其子树的根就在第 l+1 层。其双亲在同一层的结点称为堂兄弟。 树中结点的最大层次称为树的深度也称树的高度。

如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。

森林是m棵互不相交的树的集合。

树的抽象数据类型：

树的存储结构：

一、双亲表示法：

假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示双亲结点到链表中的位置。

 结构定义代码：

#define MAX_TREE_SIZE    100
typedf int TElemType; //树结点的数据类型，目前暂定为整形
typedf struct PTNode
{
    TElemType data; //结点数据
    int parent; //双亲的位置
}PTNode;
typedf struct
{
     PTNode nodes{MAX_TREE_SIZE}; //结点数组
     int r,n; //根的位置和结点数
}PTree;

 存储结构的设计是一个非常灵活的过程。一个存储结构设计得是否合理，取决于该存储结构的运算是否适合、是否方便，时间复杂度好不好等。

二、孩子表示法：

换一种完全不同的考虑方法。由于树中每个结点可能有多棵子树，可以考虑用多重链表，即每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一棵子树的根结点，我们把这 种方法叫做多重链表表示法。

把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组

 代码实现：

#define MAX_TRSE_SIZE 100
typedef struct CTNode
{
   int child;
   struct CTNode *next;
}*ChildPtr;
typedf struct
{
    TElemType data;
    ChildPtr firstchild;
}CTBox;
typedf struct
{
     CTBox nodes[ MAX_TRSE_SIZE];
     int r,n;
}CTree;

孩子兄弟表示法：

任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的。它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。

代码定义：

typedef struct CSNode 
{
TElemType data; 
struct CSNode *firstchild,*rightsib; 
} CSNode,*CSTree;

二叉树的定义：

二叉树是n个结点的有限靠舍，该集合或者为空集(称为空二叉树)，或者由一个根结点和两颗互不相交的，分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点有:

• 每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。注意不是只有两棵子树，而是最多有。没有子树或者有一棵子树都是可以的

• 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。就像人是双手、双脚，但显然左手、左脚和右手、右脚是不一样的，右手戴左手套、右脚穿左鞋都会极其别扭和难受。

• 即使树中某结点只有一颗子树，也要区分它是左子树还是右子树。

二叉树的五种基本的形态：

1. 空二叉树
2. 只有一个根节点
3. 根节点只有左子树
4. 根节点只有右子树
5. 根节点既有左子树又有右子树

特殊二叉树：

1. 斜树：

顾名思义，斜树一定要是斜的，但是往哪斜还是有讲究。所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

2.满二叉树：

在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

特点：

1、叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。

2、非叶子结点的度一定是 2。否则就是"缺胳膊少腿" 了。

3、在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

3.完全二叉树：

对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为 i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同，则这颗二叉树称为完全二叉树。

特点：

1. 叶子结点只能出现在最下两层
2. 最下层的叶子一定集中在左部连续位置。
3. 倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。
4. 如果结点度为1，则该节点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况。
5. 同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。

 二叉树的性质：

性质1：

在二叉树的第i层上至多有2的i-1次方个结点（i>=1)。

性质2：

深度为k的二叉树至多有2的k次方-1个结点（k>=1)。

性质3：

对任何一颗二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。

性质4：

具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n] +1（[x]表示不大于x的最大整数）。

性质5：

如果对一颗有n个结点的完全二叉树（其深度为[log2n+1]的结点按层序编号（从第1层到第[log2n]+1层，每层从左到右），对任一结点i（1<=i<=n）有：

1、如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点[i/2]。

2、如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子是结点2i。

3、如果2i+1>n，则结点i无右孩子，否则其右孩子是结点2i+1。

二叉树的存储结构：