基础算法之前缀和于差分_前缀和套差分

前缀和

这里我们讨论一维前缀和与二维前缀和，分别应用于一维序列和二维矩阵序列，主要的操作有两个，一是求出前缀和序列，二是根据前缀和求出某个区间的和，其中二维前缀和的两个操作都应用到了容斥原理，需要注意的一点是，如果题目对空间的要求比较高，那么我们可以考虑只用一个数组来保存前缀和，而不需要数组来记录数据，以节省空间，

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	cin >> a[i];
	b[i] = b[i - 1] + a[i];
}
 
int x = b[r] - b[l - 1];
 
for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int j = 1; j <= m; j++) {
		cin >> a[i][j];
		b[i][j] = a[i][j] + b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];
	}
}
 
int x = b[x2][y2] - b[x1 - 1][y2] - b[x2][y1 - 1] + b[x1 - 1][y1 - 1];

利用前缀和线性求最大子列和，里面应该还有别的思想，但是理解不了，暂时先记住

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
const int N = 1e5 + 5;
 
int a[N], b[N];
 
int main() {
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
		b[i] = b[i - 1] + a[i];
	}
	int Min = 1e9;
	int ans = -1e9;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		Min = min(Min, b[i - 1]);
		ans = max(ans, b[i] - Min);
	}
	cout << ans;
	return 0;
}

差分

这里说的是序列差分，首先是一维差分和二维差分，也是对应一维序列二维序列，差分也是主要有两个操作，一是求差分序列，而是对差分序列进行修改，最后求前缀和序列以O(1)实现区间修改，所以可以看出，差分是前缀和的逆运算，同时差分具有局限性，一大堆的查询操作在最后那么适用，如果一边有修改一边有查询那么就要看时间复杂度够不够了，

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	cin >> a[i];
	b[i] = a[i] - a[i - 1];
}
 
b[x1]++;
b[x2 + 1]--;
 
for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int j = 1; j <= m; j++) {
		cin >> a[i][j];
		b[i][j] = a[i][j] - a[i - 1][j] - a[i][j - 1] + a[i - 1][j - 1];
	}
}
 
b[x1][y1]++;
b[x2 + 1][y1]--;
b[x1][y2 + 1]--;
b[x2 + 1][y2 + 1]++;

还有差分套差分，等掌握了再总结