数据包络分析（DEA）——SBM模型

写在前面：
博主本人大学期间参加数学建模竞赛十多余次，获奖等级均在二等奖以上。为了让更多学生在数学建模这条路上少走弯路，故将数学建模常用数学模型算法汇聚于此专栏，希望能够对要参加数学建模比赛的同学们有所帮助。

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1. 引言

  前面我们已经介绍了数据包络分析的CCR模型和BCC模型，具体可参阅链接: 数据包络分析——CCR模型和链接: 数据包络分析——BCC模型，而CCR模型和BCC模型都是径向模型，在径向模型中，效率改善主要指的是投入或产出的等比例线性缩放，同时忽略了平行于坐标轴的弱有效的情形，而SBM模型纳入无效率的松弛改进，保证最终的结果是强有效的。

2. 模型建立

  基本的SBM模型形式为
min ⁡ ρ = 1 − 1 m ∑ j = 1 m s j − / x k j 1 + 1 q ∑ r = 1 q s r − / y k r  s.t.  { X λ + s − = x k Y λ − s + = y k λ , s − , s + ⩾ 0 , j = 1 , ⋯   , m ; r = 1 , ⋯   , q

$$\begin{array}{l}\min \rho=\frac{1-\frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} s_{j}^{-} / x_{k j}}{1+\frac{1}{q} \sum_{r=1}^{q} s_{r}^{-} / y_{k r}} \\ \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l}X \lambda+s^{-}=x_{k} \\ Y \lambda-s^{+}=y_{k} \\ \lambda, s^{-}, s^{+} \geqslant 0, \quad j=1, \cdots, m ; r=1, \cdots, q\end{array}$$ \right.\end{array} minρ=1+q1​∑r=1q​sr−​/ykr​1−m1​∑j=1m​sj−​/xkj​​ s.t. ⎩ ⎨ ⎧​Xλ+s−=xk​Yλ−s+=yk​λ,s−,s+⩾0,j=1,⋯,m;r=1,⋯,q​​其中，对每个决策单元$k=1,\cdots ,n$。
  目标函数${\rho }^{\ast }$表示效率值，该模型同时从投入和产出两个方面考察无效率的表现，故称为非径向模型。由于该模型为非线性模型，将该模型转化为线性模型，同时向模型中加入非期望产出得：
$$\begin{array}{l}{\tau }^{\ast }=\min \left(t-\frac{1}{m}{\sum }_{j=1}^m\frac{s_j^{-}}{x_{kj}}\right)\\ \text{ s.t. }\{\begin{array}{l}t+\frac{1}{s_1+s_2}\left({\sum }_{r=1}^{s_1}\frac{s_r^g}{y_{kr}^g}+{\sum }_{r=1}^{s_2}\frac{s_r^b}{y_{kr}^g}\right)=1\\ x_{k}t=X\Lambda +S^{-}\\ y_k^{g}t=X\Lambda -S^g\\ y_k^{b}t=X\Lambda +S^b\\ \Lambda ,S^{-},S^g,S^b⩾0\\ t>0\end{array}\end{array}$$ 其中，对每个决策单元$k=1,\cdots ,n$。该模型中包含投入矩阵$X_{n\times m}$的转置，期望产出矩阵$Y_{n\times s_1}^g$的转置，非期望产出$Y_{n\times s_2}^b$的转置，模型参数主要包括投影变量$\Lambda$,松弛变量$S^{-}、S^g、S^b$和$t$。

3. 模型求解

我们仍然用前面的例子：
  某市教委需要对六所重点中学进行评价，其相应的指标如表所示。表中的生均投入和非低收入家庭百分比是输入指标，生均写作得分和生均科技得分是输出指标。请根据这些指标，评价哪些学校是相对有效的。

  根据模型编写MATLAB代码如下:

%非期望产出SBM模型
clc,clear
X=[89.39 86.25 108.13 106.38 62.4 47.19;
    64.3 99 99.6 96 96.2 79.9];
Y=[25.2 28.2 29.4 26.4 27.2 25.2;
    223 287 317 291 295 222];
Z=[72 85 95 63 81 70]; %非期望产出：生均艺术得分
[m,n]=size(X);
s1=size(Y,1);
s2=size(Z,1);
c=1/(s1+s2);

rho=[];
w=[];
for i=1:n
    f=[-1./(m*X(:,i)') zeros(1,s1) zeros(1,s2) zeros(1,n) 1];
    A=[];
    b=[];
    UB=[];
    LB=zeros(m+s1+s2+n+1,1);
    Aeq=[zeros(1,m) c*1./Y(:,i)' c*1./Z(:,i)' zeros(1,n) 1;
        eye(m) zeros(m,s1)  zeros(m,s2) X -X(:,i);
        zeros(s1,m) -eye(s1) zeros(s1,s2) Y -Y(:,i);
        zeros(s2,m) zeros(s2,s1) eye(s2) Z -Z(:,i)];
    beq=[1 zeros(m,1)' zeros(s1,1)' zeros(s2,1)'];
    [w(:,i),rho(i)]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB);
end
rho'

1
2
3
4
5
6
7
8
9
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  得到每个学校的效率值为

1.0000 、 0.8297 、 0.8692 、 1.0000 、1.0000 、 1.0000

  可见在带非期望产出的情况下，学校A、D、E、F是有效的。