2024长三角高校数学建模：“抢救”落水手机_手机掉落水中轨迹预测

背景

上有天堂，下在苏杭；五一假期，杭州西湖、西溪湿地、京杭大运河等著名景点，游人如织，作为享誉国内外的旅游胜地，杭州再次成为顶流。今年五一假期，西湖不断忙上热搜，据悉今年“五一”期间，杭州共接待游客 1051.47 万人次，接待外地来杭州游客 709 万人次，不仅西湖边人头攒动，西溪湿地、京杭运河水上游船也是游客爆满，坐船排队、登岛排队、拍照打卡也要排队，在欣赏美景放松心情的同时，稍不留神，手机落水的情景时有发生。为帮助游客解决落水手机的打捞问题，杭州主要景区工作人员，都配备有打捞神器，尽可能在较短的时间内解决游客的燃眉之急。在打捞落水物品的同时，打捞人员最为关心的就是物品在水中可能的掉落范围，物品掉落水中的范围不仅与物品自身特征有关，还与水域情况等各种因素有关。基于以上背景，请你们团队研究解决以下问题：

题目

问题一

问题 1：在西湖游船上掉落到西湖里一款华为 mate 60 pro 手机，请你们研究该款手机可能的掉落范围以及最优搜索策略，假设西湖的水是静水。

问题二

问题 2：在京杭大运河拱宸桥附近，从游船上掉落到水里一款华为 mate 60 pro 手机，请你们研究手机可能的掉落范围以及最优搜索策略。

问题三

问题 3：如果掉落在水里的是一张居民身份证，请你们重做问题 1-2。

问题四

问题 4：通过以上研究，针对掉落在水里的手机或身份证等物品，为提升快速打捞成功率，请给打捞人员提供相关建议。

思路：相关参数具体指自己假设一个合理值即可,只能模拟

问题 1：西湖游船上掉落到西湖里一款华为 Mate 60 Pro 手机，研究该款手机可能的掉落范围以及最优搜索策略，假设西湖的水是静水。

1. 掉落模型的建立：

   • 假设手机从一定高度掉落，考虑手机的初速度、掉落角度。
   • 考虑空气阻力对手机下落过程的影响。
   • 使用牛顿运动定律，建立手机下落过程的运动方程。

2. 手机在水中运动：

   • 手机进入水中后会继续下沉，需考虑手机密度、体积及其与水的相互作用力。
   • 建立水中阻力模型，考虑粘性阻力和湍流阻力。
   • 使用斯托克斯定律和其他相关流体力学公式，模拟手机在水中的运动轨迹。

3. 搜索范围的确定：

   • 综合分析手机在空气中和水中的运动轨迹，预测手机最终沉入水底的范围。
   • 考虑风速、水流等环境因素的影响，对初步结果进行修正。

4. 最优搜索策略：

   • 基于预测的沉没范围，设计有效的搜索路径。
   • 使用分段搜索、螺旋搜索等方法提高搜索效率。
   • 考虑使用声纳设备、潜水员等辅助搜索工具。

问题 2：京杭大运河拱宸桥附近，从游船上掉落到水里一款华为 Mate 60 Pro 手机，研究手机可能的掉落范围以及最优搜索策略。

1. 掉落模型的建立：

   • 类似问题 1，考虑手机从船上掉落的初速度、角度及空气阻力。

2. 水流影响的分析：

   • 京杭大运河有水流，需分析水流速度及方向对手机运动轨迹的影响。
   • 建立水流模型，模拟手机在水流中的运动。

3. 手机在水中的运动：

   • 与问题 1 类似，考虑手机在水中下沉的过程，但需加入水流的作用力。
   • 使用流体力学公式，计算手机在不同深度的运动轨迹。

4. 搜索范围的确定：

   • 根据水流和手机在水中的运动模型，预测手机最终沉没的范围。
   • 修正预测结果，考虑实际水流情况和其他环境因素。

5. 最优搜索策略：

   • 基于手机在水流中的运动预测，设计合适的搜索路径。
   • 使用分段搜索、网格搜索等方法，结合水流分析进行优化。
   • 考虑使用声纳、潜水员、打捞网等工具。

问题 3：如果掉落在水里的是一张居民身份证，请你们重做问题 1-2。

1. 身份证掉落模型：

   • 身份证质量较小，形状扁平，下落过程受空气阻力影响较大。
   • 建立身份证掉落的运动模型，考虑其旋转、飘动等复杂运动形式。

2. 身份证在水中的运动：

   • 身份证进入水中后会受到浮力、阻力作用，运动轨迹较为复杂。
   • 使用流体力学公式，模拟身份证在水中翻滚、漂移的过程。

3. 搜索范围的确定：

   • 结合身份证在空气和水中的运动模型，预测其最终沉入水底的位置。
   • 考虑身份证轻且容易漂移，搜索范围可能比手机更大。

4. 最优搜索策略：

   • 基于身份证漂移范围，设计合适的搜索路径。
   • 使用分段搜索、螺旋搜索等方法提高搜索效率。
   • 考虑使用浮标、打捞网等工具。

问题 4：为提升快速打捞成功率，请给打捞人员提供相关建议。

1. 打捞设备的改进：

   • 提供适合不同物品（如手机、身份证）的打捞工具，考虑其体积、重量等特性。
   • 推荐使用高效的声纳设备，快速定位沉入水底的物品。

2. 搜索策略的优化：

   • 针对不同类型物品，制定详细的搜索策略，如螺旋搜索、网格搜索等。
   • 提供标准化的操作流程，确保打捞人员能够高效执行。

3. 环境因素的考虑：

   • 分析不同水域的特点，针对静水、流动水域制定不同的搜索方案。
   • 考虑天气、风速、水流等因素对打捞工作的影响，灵活调整搜索策略。

4. 培训与演练：

   • 定期对打捞人员进行培训，提升其操作技能和应变能力。
   • 进行模拟演练，积累实际操作经验，提高打捞成功率。

建模

要完整地解决问题一，需要建立手机掉落和在水中运动的数学模型，并制定相应的搜索策略。以下是问题一的详细建模过程：

问题 1：在西湖游船上掉落到西湖里一款华为 Mate 60 Pro 手机，研究该款手机可能的掉落范围以及最优搜索策略，假设西湖的水是静水。

1. 掉落模型的建立

1.1. 空气中运动

当手机从一定高度掉落时，需考虑其初速度、掉落角度以及空气阻力。假设手机从高度 (h) 处以初速度 (v_0) 和角度 (\theta) 掉落，手机在空气中的运动可以用以下方程描述：

• 水平运动：
  $$x(t)=v_0\cos (\theta )t$$

• 垂直运动：
  $$y(t)=h+v_0\sin (\theta )t-\frac{1}{2}g{t}^2$$

其中，$$g$$为重力加速度（约为 9.8 , $${m/s}^2$$）。

1.2. 空气阻力的考虑

空气阻力 ( F_d ) 与速度 ( v ) 相关，可以用以下公式表示：
$$F_d=\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}^2$$

其中，( \rho ) 为空气密度，( C_d ) 为阻力系数，( A ) 为手机迎风面积。

考虑空气阻力时，运动方程变为：
$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{1}{2}\rho C_{d}A{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2$$
$$m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-mg-\frac{1}{2}\rho C_{d}A{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2$$

使用数值方法（如欧拉法或龙格-库塔法）求解上述方程。

2. 手机在水中的运动

手机进入水中后将继续下沉，需要考虑手机密度、体积及水的阻力。

2.1. 水中阻力

在水中的阻力可以用以下公式表示：
$$F_{d\_water}=\frac{1}{2}{\rho }_w{C}_{d}A{v}^2$$

其中，( \rho_w ) 为水的密度。

2.2. 下沉运动方程

手机在水中的运动可以用以下方程描述：
$$m\frac{d^{2}z}{d{t}^2}=-mg+{\rho }_{w}Vg-\frac{1}{2}{\rho }_w{C}_{d}A{v}^2$$

其中，( z ) 为水深，( V ) 为手机体积。

使用数值方法求解该方程，得到手机在水中的运动轨迹。

3. 搜索范围的确定

综合分析手机在空气中和水中的运动轨迹，预测手机最终沉入水底的范围。假设最终落点的概率密度函数为 ( P(x, y) )，可以通过以下步骤确定搜索范围：

1. 将空气中运动和水中运动的结果结合，得到手机的可能沉没范围。
2. 根据概率密度函数 ( P(x, y) )，确定概率较高的搜索区域。

4. 最优搜索策略

4.1. 分段搜索

将预测范围划分为若干小区域，优先搜索概率密度较高的区域。

4.2. 螺旋搜索

从预测范围的中心开始，逐渐向外扩展，采用螺旋形搜索路径。

4.3. 使用辅助工具

建议使用声纳设备快速扫描水底，定位沉入水底的物品。

编程：数值方法与模拟

使用编程工具（如 Python 或 MATLAB）实现上述数值求解和模拟过程，具体步骤如下：

1. 初始化参数：设置初速度、掉落角度、高度、空气密度、水密度、阻力系数等参数。
2. 求解运动方程：使用数值方法求解空气中和水中的运动方程，得到手机的运动轨迹。
3. 模拟手机下沉过程：模拟手机在空气中和水中的下沉过程，预测其最终沉没范围。
4. 搜索策略模拟：模拟不同的搜索策略，比较其效率和效果。

通过以上完整的建模过程，可以准确预测手机的掉落范围，并制定最优的搜索策略。

问题 2：在京杭大运河拱宸桥附近，从游船上掉落到水里一款华为 Mate 60 Pro 手机，研究手机可能的掉落范围以及最优搜索策略。

1. 掉落模型的建立

与问题一相似，手机从一定高度掉落，考虑其初速度、掉落角度以及空气阻力。假设手机从船上高度 (h) 处以初速度 (v_0) 和角度 (\theta) 掉落。

1.1. 空气中运动

手机在空气中的运动可以用以下方程描述：

• 水平运动：
  $$x(t)=v_0\cos (\theta )t$$

• 垂直运动：
  $$y(t)=h+v_0\sin (\theta )t-\frac{1}{2}g{t}^2$$

1.2. 空气阻力的考虑

考虑空气阻力 ( F_d ) 时，运动方程为：

• 水平运动：
  $$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{1}{2}\rho C_{d}A{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2$$

• 垂直运动：
  $$m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-mg-\frac{1}{2}\rho C_{d}A{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2$$

使用数值方法求解上述方程。

2. 水流影响的分析

京杭大运河有水流，需分析水流速度 ( v_w ) 及方向对手机运动轨迹的影响。

2.1. 水流模型

假设水流速度 ( v_w ) 为常数，方向为 (\phi)，则手机在水中运动的总速度为：

• 水平速度：
  $$v_x=v_0\cos (\theta )+v_w\cos (\varphi )$$

• 垂直速度：
  $$v_y=v_0\sin (\theta )+v_w\sin (\varphi )$$

3. 手机在水中的运动

手机进入水中后继续下沉，需要考虑手机密度、体积及水的阻力。

3.1. 水中阻力

水中阻力$$F_{d\_water}$$ 可以用以下公式表示：

$$F_{d\_water}=\frac{1}{2}{\rho }_w{C}_{d}A{v}^2$$

3.2. 下沉运动方程

手机在水中的运动方程为：

$$m\frac{d^{2}z}{d{t}^2}=-mg+{\rho }_{w}Vg-\frac{1}{2}{\rho }_w{C}_{d}A{v}^2$$

其中，( z ) 为水深，( V ) 为手机体积。

使用数值方法求解该方程，得到手机在水中的运动轨迹。

4. 搜索范围的确定

综合分析手机在空气中和水中的运动轨迹，预测手机最终沉入水底的范围。

1. 结合空气中运动和水中运动的结果，得到手机的可能沉没范围。
2. 考虑水流的影响，修正预测结果。

5. 最优搜索策略

5.1. 分段搜索

将预测范围划分为若干小区域，优先搜索概率密度较高的区域。

5.2. 网格搜索

在可能的沉没范围内划分网格，逐格搜索。

5.3. 使用辅助工具

建议使用声纳设备快速扫描水底，定位沉入水底的物品。

编程：数值方法与模拟

使用编程工具（如 Python 或 MATLAB）实现上述数值求解和模拟过程，具体步骤如下：

1. 初始化参数：设置初速度、掉落角度、高度、空气密度、水密度、阻力系数、水流速度和方向等参数。
2. 求解运动方程：使用数值方法求解空气中和水中的运动方程，得到手机的运动轨迹。
3. 模拟手机下沉过程：模拟手机在空气中和水中的下沉过程，预测其最终沉没范围。
4. 搜索策略模拟：模拟不同的搜索策略，比较其效率和效果。

通过以上完整的建模过程，可以准确预测手机的掉落范围，并制定最优的搜索策略。

问题 3：如果掉落在水里的是一张居民身份证，请你们重做问题 1-2。

1. 掉落模型的建立

身份证从一定高度掉落，考虑其初速度、掉落角度以及空气阻力。由于身份证质量较小，形状扁平，下落过程受空气阻力影响较大。

1.1. 空气中运动

身份证在空气中的运动可以用以下方程描述：

• 水平运动：
  $$x(t)=v_0\cos (\theta )t$$

• 垂直运动：
  $$y(t)=h+v_0\sin (\theta )t-\frac{1}{2}g{t}^2$$

1.2. 空气阻力的考虑

考虑空气阻力 ( F_d ) 时，运动方程为：

• 水平运动：
  $$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{1}{2}\rho C_{d}A{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2$$

• 垂直运动：
  $$m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-mg-\frac{1}{2}\rho C_{d}A{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2$$

由于身份证的形状，考虑其可能产生旋转和飘动效应，需要加入旋转角速度和空气浮力的影响。

使用数值方法求解上述方程。

2. 水流影响的分析

身份证进入水中后会继续下沉，但由于其轻质和面积较大，受到水流的影响较为明显。

2.1. 水流模型

假设水流速度 ( v_w ) 为常数，方向为 (\phi)，则身份证在水中运动的总速度为：

• 水平速度：
  $$v_x=v_0\cos (\theta )+v_w\cos (\varphi )$$

• 垂直速度：
  $$v_y=v_0\sin (\theta )+v_w\sin (\varphi )$$

3. 身份证在水中的运动

身份证进入水中后下沉，需考虑身份证密度、面积及水的阻力。

3.1. 水中阻力

水中阻力 ( F_{d_water} ) 可以用以下公式表示：

$$F_{d\_water}=\frac{1}{2}{\rho }_w{C}_{d}A{v}^2$$

3.2. 下沉运动方程

身份证在水中的运动方程为：

$$m\frac{d^{2}z}{d{t}^2}=-mg+{\rho }_{w}Vg-\frac{1}{2}{\rho }_w{C}_{d}A{v}^2$$

使用数值方法求解该方程，得到身份证在水中的运动轨迹。

4. 搜索范围的确定

综合分析身份证在空气中和水中的运动轨迹，预测身份证最终沉入水底的范围。

1. 结合空气中运动和水中运动的结果，得到身份证的可能沉没范围。
2. 考虑水流的影响，修正预测结果。

5. 最优搜索策略

5.1. 分段搜索

将预测范围划分为若干小区域，优先搜索概率密度较高的区域。

5.2. 网格搜索

在可能的沉没范围内划分网格，逐格搜索。

5.3. 使用辅助工具

建议使用声纳设备快速扫描水底，定位沉入水底的物品。

编程：数值方法与模拟

使用编程工具（如 Python 或 MATLAB）实现上述数值求解和模拟过程，具体步骤如下：

1. 初始化参数：设置初速度、掉落角度、高度、空气密度、水密度、阻力系数、水流速度和方向等参数。
2. 求解运动方程：使用数值方法求解空气中和水中的运动方程，得到身份证的运动轨迹。
3. 模拟身份证下沉过程：模拟身份证在空气中和水中的下沉过程，预测其最终沉没范围。
4. 搜索策略模拟：模拟不同的搜索策略，比较其效率和效果。

通过以上完整的建模过程，可以准确预测身份证的掉落范围，并制定最优的搜索策略。

问题 4：通过以上研究，针对掉落在水里的手机或身份证等物品，为提升快速打捞成功率，请给打捞人员提供相关建议。

基于问题1-3的研究结果和分析，以下是针对打捞掉落在水里的手机或身份证等物品的一系列建议。

1. 打捞设备的改进

1. 多样化打捞工具：

   • 配备多种打捞工具，例如长杆捞网、小型潜水设备等，以适应不同类型物品的打捞需求。
   • 使用带有钩子的打捞工具，可以更容易打捞到沉在水底的物品。

2. 声纳设备：

   • 配备高精度声纳设备，可以快速扫描水下情况，精确定位掉落物的位置。
   • 定期校准和维护声纳设备，确保其工作稳定性和准确性。

3. 防水保护装置：

   • 提供防水袋或防水盒等装置，以便游客在乘船时能保护他们的电子设备，减少掉落水中的风险。

2. 搜索策略的优化

1. 分区搜索：

   • 根据物品掉落的初始位置和可能的漂移范围，将水域划分为若干搜索区，分区进行搜索。
   • 优先搜索概率较高的区域，提升搜索效率。

2. 网格搜索：

   • 在确定的搜索范围内，划分网格，逐格进行搜索。
   • 每个网格内进行全面扫描，确保不遗漏任何可能的位置。

3. 螺旋搜索：

   • 从掉落点开始，按螺旋形向外扩展进行搜索。
   • 结合声纳设备，确保覆盖整个预测范围。

3. 环境因素的考虑

1. 水流和风速：

   • 分析水流速度和方向，预测物品在水中的漂移轨迹。
   • 根据风速和方向，调整搜索策略，避免因风力影响而错过物品。

2. 天气条件：

   • 考虑天气变化对搜索工作的影响，特别是在风大或下雨时，应调整打捞计划。
   • 尽量在天气良好、能见度高时进行搜索工作。

3. 水域特性：

   • 根据不同水域的特性（如水深、流速、底质等），制定相应的搜索方案。
   • 在复杂水域，如有障碍物或植物密集的区域，使用专业潜水设备辅助搜索。

4. 培训与演练

1. 定期培训：

   • 定期对打捞人员进行专业培训，提升他们的操作技能和应变能力。
   • 包括声纳设备使用、水下搜索技巧、急救措施等内容。

2. 模拟演练：

   • 定期进行模拟演练，积累实际操作经验，提高团队的协作能力和应急反应速度。
   • 在演练中模拟不同的掉落情景，确保打捞人员在实际操作中能快速反应。

3. 知识普及：

   • 对游客进行知识普及，建议他们在游船时保护好自己的物品，减少掉落风险。
   • 在主要景区设立提醒标志，告知游客注意防范。

编程：数值方法与模拟

1. 模拟软件的使用：

• 使用 MATLAB 或 Python 等编程工具，模拟不同掉落场景和搜索策略，评估其效果。
• 通过数值模拟，优化搜索方案，提高打捞成功率。

2. 数据记录与分析：

• 记录每次打捞的相关数据，包括掉落位置、搜索路径、环境条件等。
• 对数据进行分析，总结经验，持续优化搜索策略。

通过以上建议，结合前面问题中建立的掉落和搜索模型，可以显著提升掉落物品的快速打捞成功率，减少游客的损失。

模型算法

问题 1：西湖游船上掉落到西湖里一款华为 Mate 60 Pro 手机

1. 掉落模型的建立：

   • 运动方程：牛顿运动定律
   • 空气阻力模型：Stokes定律、阻力系数公式
   • 数值方法：欧拉法、龙格-库塔法

2. 手机在水中运动：

   • 运动方程：牛顿运动定律
   • 水中阻力模型：Stokes定律、Navier-Stokes方程
   • 数值方法：欧拉法、龙格-库塔法

3. 搜索范围的确定：

   • 概率密度函数：基于轨迹预测的概率模型
   • 环境修正：线性回归模型、多变量回归分析

4. 最优搜索策略：

   • 路径规划算法：分段搜索算法、螺旋搜索算法
   • 辅助工具：基于声纳数据的图像处理算法

问题 2：京杭大运河拱宸桥附近掉落到水里一款华为 Mate 60 Pro 手机

1. 掉落模型的建立：

   • 运动方程：牛顿运动定律
   • 空气阻力模型：Stokes定律、阻力系数公式
   • 数值方法：欧拉法、龙格-库塔法

2. 水流影响的分析：

   • 水流模型：Bernoulli方程、Navier-Stokes方程
   • 水流速度和方向：基于流体力学的数值模拟

3. 手机在水中的运动：

   • 运动方程：牛顿运动定律
   • 水中阻力模型：Stokes定律、Navier-Stokes方程
   • 数值方法：欧拉法、龙格-库塔法

4. 搜索范围的确定：

   • 概率密度函数：基于轨迹预测的概率模型
   • 环境修正：线性回归模型、多变量回归分析

5. 最优搜索策略：

   • 路径规划算法：分段搜索算法、网格搜索算法
   • 辅助工具：基于声纳数据的图像处理算法

问题 3：如果掉落在水里的是一张居民身份证

1. 身份证掉落模型：

   • 运动方程：牛顿运动定律
   • 空气阻力模型：Stokes定律、阻力系数公式
   • 旋转和飘动模型：基于旋转矩的流体动力学模型
   • 数值方法：欧拉法、龙格-库塔法

2. 身份证在水中的运动：

   • 运动方程：牛顿运动定律
   • 水中阻力模型：Stokes定律、Navier-Stokes方程
   • 数值方法：欧拉法、龙格-库塔法

3. 搜索范围的确定：

   • 概率密度函数：基于轨迹预测的概率模型
   • 环境修正：线性回归模型、多变量回归分析

4. 最优搜索策略：

   • 路径规划算法：分段搜索算法、螺旋搜索算法
   • 辅助工具：基于声纳数据的图像处理算法

问题 4：为提升快速打捞成功率，给打捞人员提供相关建议

1. 打捞设备的改进：

   • 多样化打捞工具：设计与测试算法
   • 声纳设备：声纳成像和处理算法

2. 搜索策略的优化：

   • 分区搜索：分区算法、区域分割算法
   • 网格搜索：网格生成算法、区域搜索算法
   • 螺旋搜索：螺旋搜索算法

3. 环境因素的考虑：

   • 水流和风速：流体力学模型、风速预测模型
   • 天气条件：天气预测模型

4. 培训与演练：

   • 模拟软件：MATLAB、Python中的模拟算法
   • 数据记录与分析：数据挖掘和分析算法

通过这些算法和模型，可以系统地分析和解决各个问题，提高打捞成功率。

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