普通二重积分计算的难点、易错点_二重积分圆开根号正负

这种含有绝对值的二重积分计算问题，我相信是很多高数初学者有点懵逼的内容

含绝对值

被积函数含有绝对值的二重积分一般都要分正负，最好是画个图来判断正负，有的特殊的可以直接用偶倍奇零的方法解决。例如例1，我们都知道cosx在一象限为正，二象限为负。那么cos(x+y)呢？同理呀。cosx在0到π/2为正，那么cos(x+y)也在0到π/2为正。且题目给了你x和y的取值，俩个取值加起来是不是0到π？那不就是一二象限嘛！而且由此可知，分界线是x+y=π/2。按照题给的范围就是下面那个图的样子。至于下面的图为什么没标π，x的区间为什么都是0到π/2？因为你看嘛，我们已经知道x+y=π/2为分界线，按照我们设的区域，x+y<π/2范围在下方，x+y>π/2的范围在上方。至于为什么没标π，因为，题目给的范围都是0到π/2之间。（个人见解，如有说的不对的地方欢迎指出）

再看例2，根号下的绝对值。肯定是大的一方在前面呀(因为绝对值说明是正数肯定是大的减小的才是正数)。x²>y的话，绝对值打开x²放前面。y>x²的话，绝对值打开y在前面。既然是根据这俩大小来判断的，那么y=x²就是那个分界线。如图画出来。y要比x²大，那么上面红色部分我们称为D1，剩下的蓝色部分就是D2。绝对值打开，俩个区域加起来即可得解。

至于例3，和例2同理，看谁大绝对值打开后谁就在前。分界线就是那个xy=1/4。知道分界线和具体区域后，画个图出来判断。哪个区域是D1，那个区域是D2。加起来！
至于红色划线部分是为了方便计算的。加一个D2在D1的被积函数减一个D2在D1的被积函数，那没变嘛。然后前后俩组分开组合一下，前面一组加起来后，哇哦，就是个正方形了！而后面那组加起来后，变2倍了！！这样计算就容易多了，不然D1还要分区域来计算(浪费草稿纸)

综上：这种含绝对值的题目，主要就是判断绝对值内谁大谁小，打开绝对值后谁正谁负。然后得出个分界线，画个图后，分情况拆区域加起来，算！

含max(min同理)

至于下面这种max类型，其实和绝对值打开的判断和计算方法可以说是一模一样，只不过不一样的是。只有最大的才从max这个小黑屋里面出来。以下图为例，先画出给的积分区域把x和y的范围限制住，然后判断max内的数谁大谁小。xy>1那么xy出来；xy<1那么1出来。这样我们很容易知道xy=1即分界线。就如图所示咯

同理

至于这个定积分的。因为是判断max内三个数的大小，所以我们就判断这三个数在x定义域内谁大谁小。即：y=x³，y=x²，y=1。然后我们要判断的是x的范围(x可以是任意数)。x<-1时，我们可以知道三次方那个是最小的，不看了。然后后面俩个，既然x没规定范围，而下限是给定了的，那么0到-1我们知道是小数，那么1更大，放1出来。若不是0到-1的范围呢，就t²更大。放出来，因为x<-1是俩种情况，加起来就完了。当-1<x<1时，明显1最大，放出来计算。x>1时，还是有2种情况，下限给定，x在0到1之间为小数，即1最大，放出来。然后x>1的部分，明显t³最大，放出来计算。俩块部分加起来计算。
最后得出的结论就用如下方式展现出来，这样更直观一些