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【双版本思路】2024深圳杯A数学建模22页成品论文+四小问双版本代码全解析
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基于三球定位的多个火箭残骸的准确定位
【A题成品论文无水印】2024数学建模深圳杯A题22页（附带每小问双版本代码解题）
https://www.jdmm.cc/file/2710539
摘要
随着现代火箭技术快速发展，火箭残骸的精确回收已成为航天领域的一个 重要任务。火箭残骸在坠落过程中会产生跨音速音爆，这不仅对环境造成影响， 还增加了定位和回收的难度。为了解决这一问题，本研究提出了一种基于多个 监测设备数据，利用三球定位技术，快速定位空中火箭残骸的数学模型。
针对问题一：为了进行单个残骸的精确定位，确定单个火箭残骸发生音爆 时的精确位置和时间，本文基于三球定位模型，考虑到解的存在性和唯一性， 选取了四个监测设备，构建了理论方程组。考虑到数据误差，本文将上述模型 转化为优化问题，并进行了数值求解。最终，求解得到残骸音爆的位置为：经 度 110.66 度，纬度 27.09 度，高程：753.79 米，音爆时间相对于零时刻为
0.01346 秒。
针对问题二和问题三：本文对多个残骸的位置定位进行了理论分析和实际 应用。为了区分并准确定位多个发生音爆的火箭残骸，本文基于问题一中，由 四组数据进行精确定位的基本模型，明确了要确定 4 个残骸在空中发生音爆时 的位置和时间，至少需要布置 4 台监测设备，并采用排列组合和反演验证相结 合的方案，确定了监测设备接收到的震动波，与之对应的残骸。
针对问题四：考虑到实际监测中存在的误差，如设备记录时间的随机误差， 为了验证所提模型的实用性和准确性，本文对监测时间数据添加了随机扰动
(±0.5s），并应用前述模型，进行了优化求解，并对结果误差进行了分析。
结果表明，即使在数据存在小范围扰动的情况下，模型依然能够有效地定位残 骸。在输入误差为±0.5s 的 10 组扰动中，求解得到四组残骸的音爆时间误差平 均值分别为-0.00017s ，0.00019s ，-0.0008s ，-0.00144s ，证明了模型的稳定性。
最后，本文还对模型的优缺点进行了分析，对其应用场景进行了展望。
关键词: 火箭残骸回收 三球定位技术 监测设备数据 定位精度 实际应用验证
一 问题重述
1.1 问题背景
当今，火箭技术已经成为太空探索和卫星发射等领域的核心。绝大多数火箭都采用多 级火箭结构，其中下面级火箭或助推器在完成既定任务后会分离并坠落至地面。然而，在 坠落过程中，火箭残骸会产生跨音速音爆，这不仅会对周围环境造成一定程度的干扰，还 会给火箭残骸的回收带来极大的挑战。
为了快速、精准地回收火箭残骸，一种创新的方法被提出：在残骸的理论落区内布置 多台震动波监测设备。这些设备能够接收到不同火箭残骸在空中产生的跨音速音爆，并根 据音爆抵达的时间来定位空中残骸发生音爆时的位置。通过采用弹道外推技术，研究人员 可以快速而准确地确定火箭残骸的落地点，为后续的回收工作提供了重要的支持。
这项技术的提出和应用将极大地提高火箭残骸回收的效率和精度，有望为未来的太空 探索和卫星发射等活动提供更加可靠的支持。
1.2 问题重述
问题 1:建立数学模型，分析如果要精准确定空中单个残骸发生音爆时的位置坐标（经 度、纬度、高程）和时间，至少需要布置几台监测设备？假设某火箭一级残骸分离后，在 落点附近布置了 7 台监测设备，各台设备三维坐标（经度、纬度、高程）、音爆抵达时间 （相对于观测系统时钟 0 时）, 计算残骸发生音爆时的位置和时间。
问题 2:火箭残骸除了一级残骸，还有两个或者四个助推器。在多个残骸发生音爆时， 监测设备在监测范围内可能会采集到几组音爆数据。假设空中有 4 个残骸，每个设备按照 时间先后顺序收到 4 组震动波。建立数学模型，分析如何确定监测设备接收到的震动波是 来自哪一个残骸？如果要确定 4 个残骸在空中发生音爆时的位置和时间，至少需要布置多 少台监测设备？
问题 3:假设各台监测设备布置的坐标和 4 个音爆抵达时间. 利用问题 2 所建立的数学模 型，从上表中选取合适的数据，确定 4 个残骸在空中发生音爆时的位置和时间（4 个残骸 产生音爆的时间可能不同，但互相差别不超过 5 s）。
问题 4:假设设备记录时间存在 0.5 s 的随机误差，请修正问题 2 所建立的模型以较精 确地确定 4 个残骸在空中发生音爆时的位置和时间。通过对问题 3 表中数据叠加随机误差， 给出修正模型的算例，并分析结果误差。如果时间误差无法降低，提供一种解决方案实现 残骸空中的精准定位（误差< 1 km），并自行根据问题 3 所计算得到的定位结果模拟所需 的监测设备位置和音爆抵达时间数据，验证相关模型。
| 设 备 | 经度 (°) | 纬度 (°) | 高程 (m) | 原音爆抵达时间(s) | 调整后音爆抵达时间(s) | ||||||
| A | 110.2 41 | 27.20 4 | 824 | 100.7 67 | 164.2 29 | 214.8 5 | 270.0 65 | 101. 1 9800 78 | 164.6 8536 56 | 215.3 3996 42 | 270.5 0024 34 |
| B | 110.7 83 | 27.45 6 | 727 | 92.45 3 | 112.2 2 | 169.3 62 | 196.5 83 | 92.13 6856 79 | 112.0 0657 86 | 169.3 5067 4 | 196.4 6557 39 |
| C | 110.7 62 | 27.78 5 | 742 | 75.56 | 110.6 96 | 156.9 36 | 188.0 2 | 75.84 6817 31 | 111.0 3510 68 | 156.5 3159 31 | 188.0 8539 97 |
| D | 110.2 51 | 28.02 5 | 850 | 94.65 3 | 141.4 09 | 196.5 17 | 258.9 85 | 94.29 6050 76 | 141.5 6220 8 | 196. 1 8772 84 | 259. 1 1732 68 |
| E | 110.5 24 | 27.61 7 | 786 | 78.6 | 86.21 6 | 118.4 43 | 126.6 69 | 78.66 0688 34 | 86.65 1538 39 | 118.8 8608 96 | 126. 1 8150 26 |
| F | 110.4 67 | 28.08 1 | 678 | 67.27 4 | 166.2 7 | 175.4 82 | 266.8 71 | 66.83 7345 37 | 166.6 9965 34 | 175.0 5963 27 | 267. 1 7511 91 |
| G | 110.0 47 | 27.52 1 | 575 | 103.7 38 | 163.0 24 | 206.7 89 | 210.3 06 | 103.6 8740 77 | 163.2 8111 03 | 206.3 5052 04 | 210.4 3097 6 |
二 问题分析
2.1 总体问题把握
本文旨在研究利用多个监测设备对空中火箭残骸的位置进行精确定位的方法。首先，
通过确定每个监测设备的空间位置（经度、纬度、高程），建立三球定位的方程组，以确 定单个残骸的精确位置。其次，在理论分析中，探讨了三球定位方程组是否总是有解的情 况。然后，通过实际应用中的计算，选择合适的监测数据集进行处理，明确不同残骸和监 测结果的对应情况。最后，针对监测设备记录时间存在的随机误差，优化了残骸定位模型， 并探讨了当时间误差无法降低时的空间定位方案。整体思路涵盖了模型建立、理论分析、
实际计算和模型优化等多个关键步骤，为解决火箭残骸回收中的位置定位问题提供了全面 而深入的研究。
2.2 单个残骸的精确位置定位
每个监测设备可由（经度、纬度、高程），确定空间位置。根据题设，“声 ”在空间 中向不同方向，传播速度相同。基于每个检测设备的位置，进行三球定位，建立方程组，
每个方程对应一个设备，方程表示音爆从发生点到设备的距离，可对单个残骸精确位置进 行定位。同时由于爆炸时间的不确定性, 我们需要第四个设备的信息, 对爆炸时间进行求解.
2.3 多个残骸的位置定位—理论分析
第二小问阐述本问基本思路同问题 1 相同。在问题 1 中，全糖奶茶屋理论上，可由 3 个设备进行单个残骸的精确位置定位（即对应方程有解）。本问需从理论角度，对三球定 位的方程组是否有解的情况进行分析。
2.4 多个残骸的位置定位—实际应用
本问基于第 2 问的理论结果，进行三球定位的实际计算，从提供的监测数据中选择适 合的数据集进行处理。本问的关键为明确“哪个时间 ”同“哪个残骸 ”相对应。可采用数 值遍历的方法，对不同的组合进行分析；结合问题 2 的理论结果，明确残骸和结果的对应 情况。
2.5 模型的修正与误差分析
本问致力于优化残骸定位。 由于设备记录时间存在 0.5 s 的随机误差，需要对问题 2 的 模型进行修正（即由方程转变为不等式，并进行分析），得到修正模型的算例。此外，按 照题目要求，还可结合题目内容和相关数据，讨论时间误差无法降低时，准确的空间定位 方案。
三 问题假设与符号说明
3.1 问题假设
1.假设震动波有固定的传播速度, 为 340 m/s.
2.假设计算两点间距离时可忽略地面曲率.
3.假设纬度间每度距离值近似为 111.263 km ，经度间每度距离值近似为 97.304 km.
4.假设每次音爆发生是瞬时的, 也就是说, 每次音爆发生地点只是一个瞬间的地点, 不存 在多个地点的偏移等其他情况.
5.假设所有的监测设备不会因为角度, 位置等其他问题, 造成监测结果出现超过误差范 围的偏差.
3.2 符号说明
略
| 符号 | 含义 |
| （X ，Y ，Z） | 音爆位置坐标 |
| （Xi ，Yi ，Zi） | 监测设备 Ai 坐标 |
| t0 | 音爆发生时刻 |
| Li | 测得音爆位置到监测设备 Ai 的距离 |
四 基于三球模型的空间定位模型
4.1 最小监测设备数量
根据三球定位模型我们知道, 在空间中可以分别以三个监测设备为球心, 以 音爆位置与监测设备的距离为半径, 绘制出三个球面. 那么三个球面的交点共有两个, 再通过 另外一个监测设备的数据, 即可得到音爆的位置. 因此, 为了能够准确定位音爆位置, 我们需 要的最小监测设备数量为 4 台.
| 设 备 | 音爆抵达时间(s) 音爆抵达时间(s) | |||||||||||
| A 100.767 164.229 214.850 270.065 | 101.198 0078 | 164.685 3656 | 215.339 9642 | 270.500 2434 | ||||||||
| B 92.453 112.220 169.362 196.583 | 92.1368 5679 | 112.006 5786 | 169.350 674 | 196.465 5739 | ||||||||
| C 75.560 110.696 156.936 188.020 | 75.8468 1731 | 111.035 1068 | 156.531 5931 | 188.085 3997 | ||||||||
| D 94.653 141.409 196.517 258.985 | 94.2960 5076 | 141.562 208 | 196.187 7284 | 259.117 3268 | ||||||||
| E 78.600 86.216 118.443 126.669 | 78.6606 8834 | 86.6515 3839 | 118.886 0896 | 126.181 5026 | ||||||||
| F 67.274 166.270 175.482 266.871 | 66.8373 4537 | 166.699 6534 | 175.059 6327 | 267.175 1191 | ||||||||
| G 103.738 163.024 206.789 210.306 | 103.687 4077 | 163.281 1103 | 206.350 5204 | 210.430 976 | ||||||||
| 经过所有的随机变动, 再次使用问题三的分类方式进行分类, 我们可以看到分类结果没有变 化, 所以问题三的模型在分类这一个方向上是仍然成立的. 7.3 扰动后的位置结果求解 接着, 再次使用第一问中使用的优化模型来计算扰动后的数据, 全糖奶茶屋去求解对应 的音爆发生位置, 以其中某组属于同一爆炸的音爆抵达时间及其扰动结果为例, 计算结果 如下: | ||||||||||||
| 观测点 A 时 间误差(s) | 观测点 B 时 间误差(s) | 观测点 C 时 间误差(s) | 观测点 D 时 间误差(s) | 观测点 E 时 间误差(s) | 观测点 F 时 间误差(s) | 观测点 G 时 间误差(s) | 音爆经度(°) 音爆纬度(°) | |||||
| -0. 165313899 -0.284181116 -0.297553419 0.006177262 -0.212578767 0.094140166 -0.030507252 | 110.500292 9 | 27.3100818 5 | ||||||||||
| -0. 199715249 0.235560086 0.202557081 0.028452081 -0.275747253 -0. 199501983 -0.001910707 110.498668 27.3117886 | ||||||||||||
| -0.373257532 0. 163901378 0.08833854 -0.289614884 0.255276877 0.316750145 -0.401183638 110.498874 | 27.3089133 5 | |||||||||||
| 0. 11575974 -0.429960172 -0.006577075 0.080803429 0.346358682 -0.457415396 0.46844856 110.502321 | 27.3076997 2 | |||||||||||
| 0.304524197 -0.086943718 -0.283922163 -0.421682943 -0.312985962 -0.385489882 0.347545977 | 110.500781 3 | 27.3097285 4 | ||||||||||
| 0.398045976 0.305127982 -0.076533881 -0.340232592 -0.218177246 0.443297394 -0.440838761 | 110.498927 8 | 27.3119243 4 | ||||||||||
| -0.002720953 0.006897227 -0.006827841 -0. 137803337 -0.053725535 -0.382421055 -0.02536517 | 110.499862 4 | 27.3101458 9 | ||||||||||
| 0.325814058 0. 154588562 0.043523309 -0.046060214 -0. 195786841 0.439308717 -0.309451885 | 110.499415 5 | 27.3116981 5 | ||||||||||
| 0.393642949 0.046016409 0.058322819 0.02236632 0.365586322 -0.488711785 0.02087236 | 110.501093 9 | 27.3090620 2 | ||||||||||
| 0.384366979 0.34844049 0.006731677 0.43795956 -0.028714976 -0.280157144 0.361922815 | 110.500829 5 | 27.3105774 1 | ||||||||||
