《视觉SLAM十四讲》相机位姿与相机外参的区别与联系_相机外参和位姿相乘

一、相机位姿的定义

$p_c=T_{cw}{p}_w$ ………………P60 (3.40)
$p_w=T_{wc}{p}_c=T_{cw}^{-1}{p}_c$ ………………P60 (3.41)
根据书中第60页底部和第61页顶部的文字叙述可知，设$p_w$为某个点在世界坐标系中的坐标，$p_c$为该点在相机坐标系中的坐标，则$T_{cw}$为该点从世界坐标系变换到相机坐标系的变换矩阵，$T_{wc}$为该点从相机坐标系变换到世界坐标系的变换矩阵，其中$T_{cw}$和$T_{wc}$都可以用来表示相机的位姿。

Note: 实践当中使用$T_{cw}$来表示相机位姿更加常见。然而在可视化程序中使用$T_{wc}$来表示相机位姿更为直观，此时$T_{wc}$中的平移向量即为相机原点在世界坐标系中的坐标，因为当上面两式中的$p_c$取成零向量时，即 p c = [ 0 0 0 1 ] T p_{c}=

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ ^{T} pc​=[0​0​0​1​]T(已转化为齐次坐标)时，$p_c$就是相机坐标系中的原点，$p_w$就是相机原点在世界坐标系中的坐标：$p_w=T_{wc}0=t_{wc}$，其中$t_{wc}$正是变换矩阵$T_{wc}$中的平移向量。书中第五讲的joinMap程序即使用$T_{wc}$来表示相机位姿进行点云拼接。

二、相机外参的定义

Z P u v = Z [ u v 1 ] = K ( R P w + t ) = K T P w ZP_{uv}=Z

$$\begin{bmatrix} u\\ v\\ 1 \end{bmatrix}$$ =K(RP_{w}+t)=KTP_{w} ZPuv​=Z⎣⎡​uv1​⎦⎤​=K(RPw​+t)=KTPw​ ………………P86 (5.8)
根据书中第86页底部的公式(5.8)和第87页顶部的文字叙述可知，上式中的$T$即为$T_{cw}$表示的相机位姿，又称为相机的外参数。

Note: 根据书中第87页中部的公式(5.10)可知，归一化坐标即为某点在相机坐标系中的坐标在相机归一化平面上的投影坐标。由公式(5.8)和公式(5.10)可得针孔相机成像模型中相机坐标、相机内参、像素坐标、相机外参、世界坐标和归一化坐标的关系：
$p_c=K^{-1}Z{P}_{uv}=T{P}_w={\tilde{P}}_c=Z{P}_c$

三、相机位姿与相机外参的区别与联系

相机的位姿有$T_{cw}$和$T_{wc}$两种表示方式，其中$T_{cw}$又称为相机的外参数。