高级数据结构3--树状数组_树状数组预处理后o(1)查询

本文是高级数据结构系列第3篇。

从这一篇开始，是一些区间数据结构。

引入

维护一个数列$a$，开始时数列中每一个数都是$a_i$，支持以下两种操作：

• A x y：表示把$a_x$加上$y$。
• Q l r：表示询问$\sum_{i=l}^r a_i$的值。

数列长度为$n$，操作总个数为$m$。$(n<=10^6,m<=10^6)$

使用各种数据结构的时间复杂度如下表：

从上表看出，无论是对于哪种操作，树状数组都有不俗的时间复杂度表现，因此，树状数组擅长解决这个问题。

介绍

来观察一下这个图。

我们假设原数组是$\{a\}$，而树状数组是$\{c\}$。则$c_1=a_1$，$c_2=a_1+a_2$，$c_3=a_3$，$c_4=a_1+a_2+a_3+a_4$，…在这个图中，$c_{12}$是$a_9$到$a_{12}$的和，$c_8$是$\sum_{i=1}^8 a_i$，其它以此类推。

如果我们把$c$数组中的下标用二进制表示出来的话，可以发现，$c_i$中包含的$a$中数的范围为$i$-($i$二进制表示中实际数值最小的那个1)+1到$i$。例如，当$i=12$时，其二进制表示为1100，最低位上的1是左数第二个1，它表示的实际数值为$(100)_2=(4)_{10}$，所以包含的a中数的范围为9-12。

以上内容部分参考百度百科

然后问题就是，怎么知道这个实际数值呢？

根据二进制补码的原理，我们知道$12$&$(-12)=4$，这里的&是位与符号。方便起见，我们把$i$&$(-i)$叫做$lowbit(i)$。即$c_i=\sum_{j=i-lowbit(i)+1}^i a_i$。

修改与查询

修改

讲了这么多，终于进入正题了。再看一眼上面那个图：

如果我们要把$a_7$加1，那么c中的那些数也要加1呢？

答案是，$c_7$，$c_8$，$c_{16}$。因为这些都包含了$a_7$。

根据观察，发现下标每次增加的量也是$lowbit(i)$。容易写出以下代码：

inline int lowbit(int x){
    return x&-x;
}
inline void add(int x,int y){
    //向a[x]加y。
    while (x<=n){
        c[x]+=y;
        x+=lowbit(x);
    }
}
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查询

和修改十分类似。自己观察上图。

inline int ask(int x){
    int ans=0;
    while (x){
        ans+=c[x];
        x-=lowbit(x)
    }
}
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应用

• 求逆序对
• 等等