【鱼眼镜头10】等距Equidistant模型的Kannala-Brandt模型，opencv的鱼眼标定使用的模型。kalibr中的 pinhole + equidistant 都是指该模型。_摄像头等距模型的逆向

Kannala Brandt 模型 / opencv中的fisheye / kalibr中的 pinhole + equidistant 都是指该模型。

• opencv
  • https://docs.opencv.org/4.x/db/d58/group__calib3d__fisheye.html
• kalibr
  • https://github.com/ethz-asl/kalibr/wiki/supported-models

在之前的博客【鱼眼镜头1】鱼眼镜头的四种投影模型（指导镜头的设计），中央镜头综述，说明了投影模型的重要性：为了从全向相机捕获的图像中提取有用的信息，我们需要知道光线如何从三维空间映射到二维图像平面。这就是投影模型的作用。一个准确的投影模型可以帮助我们更准确地估计场景中物体的位置、姿态和其他属性。

常见的鱼眼相机基本成像模型主要有四种，它们分别是等距投影（最广泛）、等立体角投影、体视投影、正交投影。镜头的设计基本是按照上述四种投影模型而制作的，可看出鱼眼相机成像模型通用性较差。

为了解决模型通用性较差的问题，可以引入畸变模型，将鱼眼成像模型等价成理想针孔成像模型与畸变模型的叠加作用。

以上是之前对鱼眼相机的标定和投影模型的理解。鱼眼相机由于其超大的视场角（Field of View, FOV），其成像过程并不完全符合传统的针孔相机模型。因此，需要使用特定的投影模型来描述鱼眼相机的成像过程。

1. Equidistant模型：

   • Equidistant模型（等距投影模型）是一种常用的鱼眼相机投影模型。在这个模型中，图像半径rd与入射角Θ（光线与相机光轴的夹角）之间的关系是线性的，即rd = f * Θ，其中f是相机的焦距。这个模型假设在图像平面上，沿各个方向上的距离都是等比例缩放的。

2. 鱼眼相机的实际设计：

   • 对于实际的鱼眼镜头来说，由于制造和设计的限制，它们不可能完全精确地按照某个特定的投影模型来设计。因此，为了更准确地描述鱼眼相机的成像过程，需要使用更复杂的模型或近似方法。

3. Kannala的鱼眼相机多项式近似模型：

   • Kannala提出了一种鱼眼相机的一般多项式近似模型。这个模型使用多项式来近似描述图像半径rd与入射角Θ之间的关系。这种方法的优点是可以更灵活地适应不同鱼眼相机的成像特性，提高标定的准确性。

4. 奇函数和泰勒级数展开：
   

   • 在讨论鱼眼相机的投影模型时，提到了${\Theta }_d$是$\Theta$的奇函数。这意味着当$\Theta$取正值和负值时，${\Theta }_d$的绝对值相同但符号相反。这是因为鱼眼相机的成像过程在光轴的两侧是对称的。
   • 将投影模型按泰勒级数展开，可以发现${\Theta }_d$可以用$\Theta$的奇次多项式来表示。这是因为奇次多项式在原点附近是对称的，这与鱼眼相机的成像特性相符。

综上所述，使用Equidistant模型可以简化鱼眼相机的成像过程，但实际的鱼眼镜头可能无法完全遵循这个模型。为了更准确地描述鱼眼相机的成像过程，可以使用更复杂的模型或近似方法，如Kannala的多项式近似模型。同时，通过泰勒级数展开和奇函数性质的分析，可以更好地理解这些投影模型的特点和适用性。

其中使用最多的是Equidistant模型, 即rd=f*\Theta,对实际的鱼眼镜头来说，它们不可能精确地按照投影模型来设计，所以为了方便鱼眼相机的标定，Kannala提出了一种鱼眼相机的一般多项式近似模型。通过前面的四个模型，可以发现\Thetad 是 \Theta的奇函数，而且将这些式子按泰勒级数展开，发现 可以用 的奇次多项式表示

opencv中的fisheye::calibrate就是用的该模型. 也叫作kannala-brandt模型.

3D到2D投影

class SVCCalibrationSDK:
    def __init__(self, intrinsic_param, width, height):
        self.image_size = np.array([height, width])  # rows, cols
        self.world2cam = np.array(intrinsic_param["world2cam"]).reshape(-1, 1)
        self.world2cam_len = np.array(intrinsic_param["world2cam_len"])
        self.svc_rotation = np.array([[1., intrinsic_param["affine_e"]],
                                     [intrinsic_param["affine_d"], intrinsic_param["affine_c"]]])
        self.svc_translation = np.array(intrinsic_param["center"])
 
    def cam_to_pixel(self, points):
        num_points = len(points)
 
        if num_points == 0:
            return np.empty((0, 3))
        else:
            norm = np.sqrt(np.sum(points[:, 0:2] * points[:, 0:2], axis=1, keepdims=True))
            theta = np.arctan(points[:, 2:3] * (-1 / norm))
 
            poly_theta = np.power(theta, np.arange(self.world2cam_len))
            rho = (poly_theta @ self.world2cam)
 
            pixels = (points[:, 0:2] * (rho / norm)) @ self.svc_rotation + self.svc_translation
 
        return pixels
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2D到3D投影

参考

https://zhuanlan.zhihu.com/p/532501102