【机器学习】单变量线性回归

线性回归模型（linear regression model）

• 线性回归模型：

$$f_{w,b}(x)=wx+b$$

其中，$w$ 为权重（weight），$b$ 为偏置（bias）

• 预测值（通常加一个帽子符号）：

$${\hat{y}}^{(i)}=f_{w,b}(x^{(i)})=w{x}^{(i)}+b$$

损失/代价函数（cost function）——均方误差（mean squared error）

• 一个训练样本：$(x^{(i)},y^{(i)})$
• 训练样本总数 = $m$
• 损失/代价函数是一个二次函数，在图像上是一个开口向上的抛物线的形状。

J ( w , b ) = 1 2 m ∑ i = 1 m [ f w , b ( x ( i ) ) − y ( i ) ] 2 = 1 2 m ∑ i = 1 m [ w x ( i ) + b − y ( i ) ] 2

$$\begin{aligned} J(w, b) &= \frac{1}{2m} \sum^{m}_{i=1} [f_{w,b}(x^{(i)}) - y^{(i)}]^2 \\ &= \frac{1}{2m} \sum^{m}_{i=1} [wx^{(i)} + b - y^{(i)}]^2 \end{aligned}$$ J(w,b)​=2m1​i=1∑m​[fw,b​(x(i))−y(i)]2=2m1​i=1∑m​[wx(i)+b−y(i)]2​

• 为什么需要乘以 1/2？因为对平方项求偏导后会出现系数 2，是为了约去这个系数。

梯度下降算法（gradient descent algorithm）

• $\alpha$：学习率（learning rate），用于控制梯度下降时的步长，以抵达损失函数的最小值处。若 $\alpha$ 太小，梯度下降太慢；若 $\alpha$ 太大，下降过程可能无法收敛。
• 梯度下降算法：

r e p e a t { t m p _ w = w − α ∂ J ( w , b ) w t m p _ b = b − α ∂ J ( w , b ) b w = t m p _ w b = t m p _ b } u n t i l   c o n v e r g e

$$\begin{aligned} repeat \{ \\ & tmp\_w = w - \alpha \frac{\partial J(w, b)}{w} \\ & tmp\_b = b - \alpha \frac{\partial J(w, b)}{b} \\ & w = tmp\_w \\ & b = tmp\_b \\ \} until \ & converge \end{aligned}$$ repeat{}until ​tmp_w=w−αw∂J(w,b)​tmp_b=b−αb∂J(w,b)​w=tmp_wb=tmp_bconverge​

其中，偏导数为

∂ J ( w , b ) w = 1 m ∑ i = 1 m [ f w , b ( x ( i ) ) − y ( i ) ] x ( i ) ∂ J ( w , b ) b = 1 m ∑ i = 1 m [ f w , b ( x ( i ) ) − y ( i ) ]

$$\begin{aligned} & \frac{\partial J(w, b)}{w} = \frac{1}{m} \sum^{m}_{i=1} [f_{w,b}(x^{(i)}) - y^{(i)}] x^{(i)} \\ & \frac{\partial J(w, b)}{b} = \frac{1}{m} \sum^{m}_{i=1} [f_{w,b}(x^{(i)}) - y^{(i)}] \end{aligned}$$ ​w∂J(w,b)​=m1​i=1∑m​[fw,b​(x(i))−y(i)]x(i)b∂J(w,b)​=m1​i=1∑m​[fw,b​(x(i))−y(i)]​

参数（parameter）和超参数（hyperparameter）

• 超参数（hyperparameter）：训练之前人为设置的任何数量都是超参数，例如学习率 $\alpha$
• 参数（parameter）：模型在训练过程中创建或修改的任何数量都是参数，例如 $w,b$

代码实现样例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 计算误差均方函数 J(w,b)
def cost_function(x, y, w, b):
    m = x.shape[0] # 训练集的数据样本数
    cost_sum = 0.0
    for i in range(m):
        f_wb = w * x[i] + b
        cost = (f_wb - y[i]) ** 2
        cost_sum += cost
    return cost_sum / (2 * m)

# 计算梯度值 dJ/dw, dJ/db
def compute_gradient(x, y, w, b):
    m = x.shape[0] # 训练集的数据样本数
    d_w = 0.0
    d_b = 0.0
    for i in range(m):
        f_wb = w * x[i] + b
        d_wi = (f_wb - y[i]) * x[i]
        d_bi = (f_wb - y[i])
        d_w += d_wi
        d_b += d_bi
    dj_dw = d_w / m
    dj_db = d_b / m
    return dj_dw, dj_db

# 梯度下降算法
def linear_regression(x, y, w, b, learning_rate=0.01, epochs=1000):
    J_history = [] # 记录每次迭代产生的误差值
    for epoch in range(epochs):
        dj_dw, dj_db = compute_gradient(x, y, w, b)
        # w 和 b 需同步更新
        w = w - learning_rate * dj_dw
        b = b - learning_rate * dj_db
        J_history.append(cost_function(x, y, w, b)) # 记录每次迭代产生的误差值
    return w, b, J_history

# 绘制线性方程的图像
def draw_line(w, b, xmin, xmax, title):
    x = np.linspace(xmin, xmax)
    y = w * x + b
    # plt.axis([0, 10, 0, 50]) # xmin, xmax, ymin, ymax
    plt.xlabel("X-axis", size=15)
    plt.ylabel("Y-axis", size=15)
    plt.title(title, size=20)
    plt.plot(x, y)

# 绘制散点图
def draw_scatter(x, y, title):
    plt.xlabel("X-axis", size=15)
    plt.ylabel("Y-axis", size=15)
    plt.title(title, size=20)
    plt.scatter(x, y)

# 从这里开始执行
if __name__ == '__main__':
    # 训练集样本
    x_train = np.array([1, 2, 3, 5, 6, 7])
    y_train = np.array([15.5, 19.7, 24.4, 35.6, 40.7, 44.8])
    w = 0.0 # 权重
    b = 0.0 # 偏置
    epochs = 10000 # 迭代次数
    learning_rate = 0.01 # 学习率
    J_history = [] # # 记录每次迭代产生的误差值

    w, b, J_history = linear_regression(x_train, y_train, w, b, learning_rate, epochs)
    print(f"result: w = {w:0.4f}, b = {b:0.4f}") # 打印结果

    # 绘制迭代计算得到的线性回归方程
    plt.figure(1)
    draw_line(w, b, 0, 10, "Linear Regression")
    plt.scatter(x_train, y_train) # 将训练数据集也表示在图中
    plt.show()

    # 绘制误差值的散点图
    plt.figure(2)
    x_axis = list(range(0, 10000))
    draw_scatter(x_axis, J_history, "Cost Function in Every Epoch")
    plt.show()

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运行结果