如何计算数据结构中的时间与空间复杂度_将一个有序数组乱序输出,求他的时间复杂度和空间复杂度

目录

1.什么是时间复杂度和空间复杂度？

1.1算法效率 算法效率分析分为两种：

1.2 时间复杂度的概念 时间复杂度的定义：

1.3 空间复杂度的概念

2.如何计算常见算法的时间复杂度？

3.常见空间复杂度的计算

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1.什么是时间复杂度和空间复杂度？

1.1算法效率 算法效率分析分为两种：

第一种是时间效率，第二种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度， 而空间效率被称作空间复杂度。

时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主 要衡量一个算法所需要的额外空间。

在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间 复杂度很是在乎。

但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。

所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

1.2 时间复杂度的概念 时间复杂度的定义：

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数（不是编程语言中的函数，是数学中的函数），它定量描述了该算法的运 行时间。

一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机 器上跑起来，才能知道。

但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻 烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。（简单的说就是语句执行的次数）

1.3 空间复杂度的概念

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。

空间复杂度不是程序占用 了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，

所以空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计 算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法

2.如何计算常见算法的时间复杂度？

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数

而只需要大概执行次数

在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

那么这里我们使用大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号

看代码

​
// 请计算一下Func1基本操作执行了多少次？
void Func1(int N)
{
 int count = 0;
 for (int i = 0; i < N ; ++ i)
 {
 
 for (int j = 0; j < N ; ++ j)
 {
 ++count;
 
 }
 
 
 }
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 
 
 int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;
 }
 
 
 printf("%d\n", count);
}
 
​

实际上：n*n+2*n+10

本质上：O (n*n)

如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。

用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

/ 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
	int count = 0;
 
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
 
 
	int M = 10;
 
	while (M--)
	{
		++count;
	}
 
 
	printf("%d\n", count);
}

实际上：2*n+10

本质上：O (n)

存在多个变量，考虑变量的大小

若m>>n 取m

  m，n相接近实际上为m+n推导为2m本质上为m 

/// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		++count;
	}
 
 
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		++count;
	}
}

若m>>n 取m,反之n

m，n相接进

实际上为m+n推导为2m

本质上为O (m) 

有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到 最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, char character )
{
  while(*str != '\0')
 {
      if(*str == character)
          return str;
      
      ++str;
 }
  
 
 
  return NULL;
}

 实际上：2/n

本质上：O (n)

相加相减相乘相除的常数去掉

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 
 
 }
 }
 
 if (exchange == 0)
 break;
 }

冒泡排序 

实际上：（（n+1）*n）/2

实际上：O (n*n)

log底下的数为了方便可以不写

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n;
 
	while (begin < end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
 
 
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid;
		else
			return mid;
	}
 
 
	return -1;
}

二分查找

实际上：log2^m

本质上O (logm)

long long Factorial(size_t N)
{
	return N < 2 ? N : Factorial(N - 1) * N;
}

实际上：n（运行的次数）

本质上：O (1)

3.常见空间复杂度的计算

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。

空间复杂度不是程序占用 了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，

所以空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

虽然循环走了N次，使用常数个额外空间

但是时间是累计的空间不是累计

所以O（1）

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if (n == 0)
		return NULL;
	long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
	}
	return fibArray;
}

注意malloc（动态内存空间申请）

申请N+1个

则O(N)

// 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？
long long Factorial(size_t N)
{
	return N < 2 ? N : Factorial(N - 1) * N;
}

递归，调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。

则空间复杂度为O(N)