数据结构（5）—— 树（上）_一棵树中,某结点位置上方各层中的所有结点都是该结点的祖先。

1. 什么是树

查找（Searching）：根据某个给定关键字K，从集合R中找出关键字与K相同的记录

静态查找：集合中记录是固定的

• 没有插入和删除操作，只有查找 动态查找：集合中记录是动态变化的
• 除查找，还可能发生插入和删除

顺序查找：O(n) 二分查找：O(logn)

• 假设n个数据元素的关键字满足有序（比如：小→大）k1<k2<…<kn，并且是连续存放（数组），那么可以进行二分查找

树（Tree）：n（n≥0）个结点构成的有限集合，当n=0时称为空树。

对于任一颗非空树（n>0），它具备以下性质：

• 树中有一个称为根（Root）的特殊结点，用r表示；
• 其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1,T2,…，Tm，其中每个集合本身又是一棵树，称为原来树的子树（SubTree）

• 子树是不相交的；
• 除了根节点外，每个结点有且仅有一个父节点；
• 一颗N个结点的树有N-1条边；

树的一些基本术语

1. 结点的度（Degree）：结点的子树个数
2. 树的度：树的所有结点中最大的度数
3. 叶结点（Leaf）：度为0的结点
4. 父结点（Parent）：有子树的结点是其子树的根节点的父结点
5. 子节点（Child）：若A结点是B结点的父结点，则称B结点是A结点的子节点；子节点也称孩子结点；
6. 兄弟结点（Sibling）：具有同一父结点的各结点彼此是兄弟结点；
7. 路径和路径长度：从结点n1到nk的路径为一个结点序列n1，n2，…，nk，ni是ni+1的父结点。路径所包含边的个数为路径的长度；
8. 祖先节点（Ancestor）：沿树根到某一结点路径上的所有结点都是这个节点的祖先节点；
9. 子孙节点（Descendant）：某一结点的子树中的所有结点是这个节点的子孙；
10. 节点层次（Level）：规定根节点在1层，其他任一结点的层数是其父结点的层数加1；
11. 树的深度（Depth）：树中所有结点中的最大层次是这棵树的深度

树的表示

2. 二叉树的定义

二叉树T：一个有穷的结点集合。这个集合可以为空；若不为空，则它是由根节点和称为其左子树$T_L$和右子树$T_R$的两个不相交的二叉树组成。

二叉树的具体5种形态：

二叉树的子树有左右顺序之分：

（1）特殊二叉树

（2）二叉树的几个重要性质

• 一个二叉树第i层的最大节点数为：$2^{i-1}，i\ge 1$
• 深度为k的二叉树有最大结点总数为：$2^k-1，k\ge 1$
• 对任何非空二叉树T，若n0表示叶结点的个数、n2是度为2的非叶结点个数，那么两者满足关系n0=n2+1
  

（3）二叉树的抽象数据类型定义

• 数据类型：二叉树
• 数据对象集合：一个有穷的结点集合。若不为空，则由根结点和其左、右二叉子树组成。
• 操作集：BT∈BinTree，Item∈ElementType，重要操作有：
  1. Boolean IsEmpty(BinTree BT)：判别BT是否为空
  2. void Traversal(BinTree BT)：遍历，按某顺序访问每个结点
  3. BinTree CreatBinTree()：创建一个二叉树

二叉树常用的遍历方法：

• void PreOrderTraversal(BinTree BT)：先序——根、左子树、右子树
• void InOrderTraversal(BinTree BT)：中序——左子树、根、右子树
• void PostOrderTraversal(BinTree BT)：后序——左子树、右子树、根
• void LevelOrderTraversal(BinTree BT)：层次遍历——从上到下、从左到右

3. 二叉树及存储结构

（1）顺序存储结构

• 完全二叉树：按从上到下、从左到右顺序存储n个结点的完全二叉树的结点父子关系：
  
  • 非根节点（序号i>1）的父结点序号为int(i/2)
  • 结点（序号为i）的左孩子结点的序号是2i，（若2i<=n，否则没有左孩子）
  • 结点（序号为i）的右孩子结点的序号是2i+1，（若2i+1<=n，否则没有右孩子）
    

（2）链表存储

typedef struct TreeNode *BinTree;
typedef BinTree Positioon;

struct TreeNode{
	ElementType Data;
	BinTree Left;
	BinTree Right;
}
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4. 二叉树的遍历

（1）递归遍历

先序遍历

遍历过程为：

• ①访问根节点
• ②先序遍历其左子树
• ③先序遍历其右子树

采用递归实现

void PreOrderTraversal(BinTree BT)
{
	if(BT)
	{
		printf("%d",BT->Data);
		PreOrderTraversal(BT->Left);
		PreOrderTraversal(BT->Right);
	}
}
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A(BDFE)(CGHI)

中序遍历

遍历过程为：

• ①中序遍历其左子树
• ②访问根结点
• ③中序遍历其右子树

void InOrderTraversal(BinTree BT)
{
	if(BT)
	{
		InOrderTraversal(BT->Left);
		printf("%d",BT->Data);
		InOrderTraversal(BT->Right);
	}
}
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后续遍历

遍历过程为：

• ①后序遍历其左子树
• ②后序遍历其右子树
• ③访问根结点

void PostOrderTraversal(BinTree BT)
{
	if(BT)
	{
		PostOrderTraversal(BT->Left);
		PostOrderTraversal(BT->Right);
		print("%d",BT->Data);
	}
}
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（DEFB）（HGCI）A

前序、中序和后序遍历过程：遍历过程中经过结点的路线一样，只是访问各结点的时机不同。

（2）非递归遍历

非递归算法实现的基本思路：使用堆栈

中序遍历非递归遍历算法：

• 遇到一个结点，就把它压栈，并去遍历它的左子树；
• 当左子树遍历结束后，从栈顶弹出这个结点并访问它；
• 然后按其右指针再去中序遍历该结点的右子树

void InOrderTraversal(BinTree BT)
{
	BinTree T = BT;
	Stack S = CreatStack(MaxSize); /* 创建并初始化堆栈s */
	while(T || !IsEmpty(S))
	{
		while(T) /* 一直向左并将沿途结点压入堆栈 */
		{
			Push(S,T);
			T = T->Left;
		}
		if(!IsEmpty(S))
		{
			T = Pop(S);	/* 结点弹出堆栈 */
			printf("%5d",T->Data); /* （访问）打印结点 */
			T = T->Right; /* 转向右子树 */
		}
	}
}
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先序遍历非递归遍历算法：

void InOrderTraversal(BinTree BT)
{
	BinTree T = BT;
	Stack S = CreatStack(MaxSize); /* 创建并初始化堆栈s */
	while(T || !IsEmpty(S))
	{
		while(T) /* 一直向左并将沿途结点压入堆栈 */
		{
			printf("%5d",T->Data); /* （访问）打印结点 */
			Push(S,T);
			T = T->Left;
		}
		if(!IsEmpty(S))
		{
			T = Pop(S);	/* 结点弹出堆栈 */
			T = T->Right; /* 转向右子树 */
		}
	}
}
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（3）层序遍历

二叉树遍历的核心问题：二维结构的线性化

• 从结点访问其左、右儿子结点，需要一个存储结构保存暂时不访问的结点，存储结构：堆栈、队列

队列实现

遍历从根节点开始，首先将根结点入队，然后开始执行循环：结点出队、访问该结点、其左右儿子入队

ABCDFGIEH

层序基本过程：先根节点入队，然后：

• ① 从队列中取出一个元素
• ② 访问该元素所指结点
• ③ 若该元素所指结点的左、右孩子结点非空，则将其左、右孩子的指针顺序入队。

void LevelOrderTraversal(BinTree BT)
{
	Queue Q;
	BinTree T;

	if(!BT) return; /* 若是空树，则直接返回 */
	Q = CreatQueue(MaxSize); /* 创建并初始化队列Q */
	AddQ(Q,BT);
	while(!IsEmptyQ(Q))
	{
		T = DeleteQ(Q);
		printf("%d\n",T->Data); /* 访问取出队列的结点 */
		if(T->Left) AddQ(Q,T->Left);
		if(T->Right) AddQ(Q,T->Right);
	}
}
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遍历二叉树的应用

通过改造后序遍历

先序和中序遍历序列来确定一棵二叉树：
分析：

• 根据先序遍历序列第一个结点确定根结点
• 根据根结点在中序遍历序列中分割出左右两个子序列
• 对左子树和右子树分别递归使用相同的方法继续分解