机器学习（第2章 贝叶斯理论与应用）_机器学习贝叶斯算法设计与应用

一、学习目标

1.了解贝叶斯公式。
2.了解贝叶斯去决策相关函数和过程。
3.根据例子理解朴素贝叶斯分类器在离散变量和连续变量中的设计。

二、贝叶斯公式

1.贝叶斯公式（Bayes function）的公式如下所示：

其中，A为类别，B为输入，Ai是第i个类别。贝叶斯公式的推导过程也十分简单：

2.那么，贝叶斯公式显然只是套用了一下条件概率公式和全概率公式，进行了一下变换。是为何能应用到实际分类中呢？首先，公式左边是我们的目标，翻译成白话是：在输入B的情况下，将其分为Ai类别的概率。同理，我们可以计算所有类别的概率。然后，公式右边是我们的依据，P(B|A)与P(A)是可以根据我们的训练数据获得的，P(B|Ai)是在Ai类别下的B的出现率，P(Ai)是Ai类别的出现率。

二、贝叶斯决策

1.粗俗地说，贝叶斯决策是一个道理，将输入B变成输入x，类别Ai换成ωi。如下图所示：

2.接下来，通过观测公式，可以发现等式右边的分母部分是一个不影响判断的数据，称为evidence，我们就可以认为，我们做决策，或者做分类的依据，只看分子部分就可以，即：

3.那么，如果我们只进行二分类的话，我们就有：

4.将贝叶斯公式再抽象，转化，可以得到类别相似性函数：

5.最后g函数变成对数相加，这就方便我们后面的决策计算，即进行加减比较，而非乘除比较：

6.至此，贝叶斯的决策过程就讲明白了。由于贝叶斯决策仅根据统计数据来预测，并不像一些高级的机器学习方法需要设置损失函数，仅需要统计数据，设计决策函数，分类即可。

三、朴素贝叶斯分类器

1.使用朴素贝叶斯分类器有一个比较大的条件，也可以称是其最大的约束：属性条件独立性假设。说人话就是，对于输入x，x是一个向量，要求x的每个元素关系相互独立，举个例子，为了区分西瓜是否是好瓜，我们可以去看西瓜的许多属性，如色泽、纹理、触感等等，而属性条件独立性假设说的就是假设这些属性是相互独立、互不影响的。

2.拉普拉斯平滑：由于我们在准备训练集时总会可能存在样本不充分的问题，导致某些分类或者某些情况并非出现，从而导致概率估计值为0。这会导致后面计算总概率值时出错。于是设计的拉普拉斯平滑：

3.朴素贝叶斯分类器（离散情况、半离散情况）：以分辨西瓜好坏为例，我们有以下数据：

离散值是指西瓜的色泽、根蒂、敲声、纹理、脐部、触感这些属性，而密度、含糖率是连续值。这是一个半离散的情况。（1）第一步：由于我们只分两类（好瓜，坏瓜），先对这两个进行统计，即类别先验估计：

（2）第二步，我们的目标是：现在来了一个新瓜，我们如何根据他的数据去判别其是否是好瓜。

统计各属性占两个的分类的比例，即类别条件概率估计，例如西瓜乌黑占好瓜的几分之几，占坏瓜的几分之几。此时还需要区分离散值属性和连续值属性。

其中，离散部分比较好理解，连续部分是将该属性假设成一个正态分布，正态分布只需要两个数值去确定，均值和方差。显然，我们可以统计对应属性的均值和方差再代入到正态分布公式即可。这样，我们就可以计算测试数据各个属性的类别条件概率：

ps.可能有同学发现了一个问题，那就是连续值属性中得到的概率为什么会大于1，这是因为计算得出的是正态分布的函数值，该函数值需要乘上一个趋近于0的Δx才能得到真正的概率值。那么这个值会不会影响最后的区分呢？可能会，也可能不会。但毕竟朴素贝叶斯是很古老的东西了，进行深究的必要性就很小了。
（3）贝叶斯决策，根据前两步计算出来的概率估计，根据贝叶斯公式进行计算：

至此，朴素贝叶斯对于离散型、半离散型的情况就结束了。
4.朴素贝叶斯分类器（全连续型情况）
全连续型的情况是比较常见的，特别在控制机器人的运动中。由于所有属性都是连续型的，与其每个属性都设计一个正态分布进行拟合，不如将所有属性看成一个整体，对输入x（一个向量）进行正态分布拟合。

与离散型情况还有一点不同：在离散型中，我们最后只需要计算两个类别的概率值即可。但在连续值中，我们可以将测试数据x*代入两个分布中分别计算概率值，但是这样不方便，可以寻找一个临界面，临界面以内为一类，面以外为另一类。于是，问题从分类问题变成寻找临界面问题，这个临界面被我们称为决策界。
为了方便计算，先将贝叶斯公式取对数，在代入正态分布，得到类别相似性函数为（1）公式。

然后再确定决策函数和决策界：

接下来，我们主要讨论三种情况：
（1）其包含两个条件，（a）两个类别的协方差矩阵相等，（b）协方差矩阵是一个对角矩阵。（a）能让我们计算比较方便，可以抵消某些数据。（b）表明正态分布没有倾斜，属性之间还是没有互相影响，还可以用朴素贝叶斯。（如果有相关，就不能用朴素贝叶斯了）我们先计算gi(x)和gj(x)。

对于红色圆圈部分，也可以这样理解：由于我们后面要计算gi(x)-gj(x)，这部分是会抵消的，故这里直接去掉就行。计算gi(x)-gj(x)之后，可以得到x0，就是我们的决策界。

x0其分为两大部分，第一大部分为黄色，其表示是两个分布均值点的中点。第二大部分为灰、红、绿三部分组成，其整体表示为决策界根据先验概率估计进行的平移调整。灰色为一个正值，其意义不用太多理解；绿色部分为界的方向，μi-μj则表示界的正方向是从μj指向μi，红色部分为先验概率估计的比值，如果i的数据更多，那么决策界会向μi远离，属于i的区域更大。
（1.sp）再特殊点，如果类别先验相等，则x0的第二大部分为0：

（2）同样包含两个条件：（1）两个类别协方差相等，（2）协方差矩阵是任意矩阵，即第1行第2列会有数值，说明这时候属性之间有相关，但我们依旧使用朴素贝叶斯来估计，（理论上应该用别的原理，但我们在实验时可以先用朴素贝叶斯来看看结果怎么样）先计算类别相似性函数：

然后计算决策界：

与上一个例子不同点仅在于灰色部分，实际上就是协方差矩阵变化的缘故。其意义还是没必要理解。
（2.sp）同（1.sp）的道理：

（3）当两个类别协方差矩阵是任意时，那么就需要具体情况具体分析了：

（4）一个简单的例子：

四、参数估计

1.定义:参数估计问题，即在机器学习中，我们在设计模型时，如何调整模型的参数以符合我们的数据，从而得到一个较好的预测结果。而贝叶斯学习作用于参数估计，并不是说贝叶斯公式是我们的模型，而是用贝叶斯公式的理论，去调整我们的模型参数。
2.贝叶斯公式在参数估计中的参数：除去P(D)不需要关注后，剩下的部分其实就是贝叶斯公式的三个成员P（D|M）为似然概率分布，P（M）是先验概率分布，P（M|D）是后验概率分布。首先需要明确一点，M可以认为是模型，但最好还是称其为模型参数，就是我们调整的目标。而P（D|M）和P（M|D）才是我们的模型。

3.我们还是以一个简单的例子来讲解其中过程吧：

这是一个随机变量只有两种取值的问题，相当于抛硬币的问题，猜下一次出现正面的概率大，还是反面的概率大。（请不要yy：抛硬币不就50%：50%的概率嘛。所有的理论都必须实践之后才知道）
显然，我们可以先假定下次出现正面的概率为θ，那么反面的概率就是1-θ。这一步很简单，然后写成概率公式：

然后把上面的公式整合起来，就得到一个出名的分布：贝努利分布。当x=1时，函数等于θ，当x=0时，函数等于1-θ。非常的完美。

那么请问，这个分布有什么用呢？这个就是我们的关于这个问题的似然概率分布P（D|M），x是D的变量，M对应θ。统计D所有的数据x，即有：

似然概率分布得到后，接下来考虑的是先验概率分布P（M），在实际实验中，先验概率分布是人为设计（似然概率分布也是，毕竟两个都是模型的内容），至于设计怎样的先验概率分布，依据主要有两点：数据的特点，与似然概率分布成共轭函数。
对于抛硬币的问题，我们可以找到这样一个先验概率分布（怎么找到的我们就不管了，反正依据就是上面两条，前人也设计了许多先验分布）Beta先验分布：

其中α1与α2是超参数，用于调整整个分布的样子，黄色部分为对两超参的归一化调整，只要知道是一个数值就行（不懂超参数的可以将其类比成正态分布中的均值和方差，均值可以调节正态分布的中心位置，方差调整正态分布的高低胖瘦）。α1与α2对先验分布的影响如下展示：

最后，有了似然分布和先验分布，我们就可以通过贝叶斯公式计算出后验概率分布：

我们惊奇地发现，后验概率分布也是一个Beta分布，其实，这就是先验概率分布是似然概率分布的共轭函数的功劳。千万不要忘记我们的目标了，我们的目标是求出θ

在机器学习中，我们有两种方法来求θ，极大似然估计和最大后验估计。既然上面都算出后验概率分布了，我们就从最大后验估计开讲：

其实就是对后验概率分布求梯度=0，黄色部分是整个后验概率分布，绿色部分则是忽略贝叶斯公式分母部分，对二者求梯度=0，实际上等价。再回看我们的后验概率分布公式：

相关求梯度的过程就不详谈了，反正最后算出最优结果（黑框），代入我们数据，得：

绿色部分确定α1与α2都设为5，黄色部分计算出θ的最终结果。也就是说下次抛硬币的正面概率是19/33，反面就是14/33。（结束）

然后再说极大似然估计的过程，先说为什么用极大似然估计，这是因为是实验中，如果我们的似然概率分布太过复杂，是很难找到一个共轭的先验概率估计与他相乘的，如果找一个不是共轭的，最后计算出的后验概率分布求梯度=0也会很难。于是我们就不考虑先验概率了，直接对似然概率求最大就行了。写成公式如下：

对P（D|θ）先取对数，再求梯度=0，得到：

代入题目数据，得到具体数值：

于是，我们发现一个很离谱的事：我们从建模、设公式、计算一套流程下来，最后得到的概率竟然就是统计出来，正面出现了多少次，那么正面的概率就是多少，反面出现了多少次，反面的概率就是多少。不知道多少同学开始骂扑街了。虽然极大似然估计的结果确实是这样的，但整套过程也是拥有其数学根据的，是讲科学的过程，不然别人问你为什么统计出“正面出现了多少次，那么正面的概率就是多少”的依据是啥，你讲不出来，你再把这套理论说出来，嗯，很牛逼。
最后将ML（极大似然估计）和MAP（最大后验估计）的结果来比较：

那么哪个更合理呢？直接讲答案吧，MAP更合理，对比一下，MAP就是比ML多一个先验概率分布，而先验概率分布是人为设计的分布，可以粗浅地认为先验概率分布是人通过观察数据后，感觉到数据服从某种规则，从而设计的模型，所以MAP更合理。显然通过这道题的结果，也可以看出二者的优劣，ML结果就是统计数据的结果，存在太大的不确定性。

五、本章小结

1.贝叶斯决策准则
2.贝叶斯分类器
3.贝叶斯学习与参数估计问题