工程优化第三章总结_单峰函数的消去性质

搜索算法概述

求解无约束优化问题min f(x), x∈Rⁿ
f: D是Rⁿ的 子集，D->R

一般求解方法：
求无约束的某可微函数的最优解，根据一阶必要条件，可以令函数的梯度等于0，由此求得驻点；然后通过充分条件进行判别，求出所要的解。

问题：

• 对某些较简单的函数，这样做有时是可行的；但对一般n元函数 f(x) 来说，由条件∇f(x)=0得到的是一个非线性方程组，解它相当困难。
• 对于不可微函数，当然谈不上使用这样的方法。
  为此，常直接使用迭代法

迭代法一般思路：
为了求函数f(x)的最优解，首先给定一个初始估计x⁰,然后按某种规划(即算法)找出比x⁰更好的解x¹,f(x¹)<f(x⁰),再按此种规则找出比x¹更好的解x²，如此迭代。
如此即可得到一个解的序列{x^k}，若这个解序列有极限x*，lim||x^k -x*|| = 0，则称他收敛与x*；
若算法是有效的，则它产生的解序列收敛于该问题的最优解。

终止条件：
理想的终止条件为：|f(x)-f(x*)|<ε 或者 ||x-x*||<ε。但是x*是未知的。

实用的终止条件是根据相继两次迭代的结果

1. 根据相继两次迭代的绝对误差 |f(x^k+1)-f(x^k)|<ε 或者 ||x^k+1-x^k||<ε
2. 根据相继两次迭代的相对误差 |f(x^k+1)-f(x^k)|/|f(x^k)| <ε 或者 ||x^k+1-x^k||/||x^k||< ε
3. 根据目标函数梯度的模足够小 ||∇f(x^k)|| < ε

收敛速度：

迭代法分类：
根据是否计算目标函数和约束函数的导数

1. 直接法：不需要导数信息；仅利用函数值，简单易用
2. 非直接法：需要导数信息；利用导数信息，收敛性结果更强

根据迭代点是否沿某个方向产生

1. 线搜索方法：迭代点沿某方向产生；每次迭代沿某个方向搜索下个迭代点，最常见研究最多的方法
2. 信赖域方法：迭代点在某区域内搜索产生；每次迭代在某区域内搜索下个迭代点，近30年来发展起来的一类方法

线搜索迭代法基本思想：
若从x^k 出发至少存在一个方向d^k可使目标函数值有所下降，可选定这个方向d^k,沿这个方向迈进适当的一步，得到下一个迭代点x^k+1,使f(x^k+1)<f(x^k)。
相当于在射线x=x^k+λd^k上选定新的点x^k+1=x^k+λ_kd^k；
其中d^k成搜索方向；λ_k称为步长或学习率(在ML中)

线搜索迭代法的一般步骤：

1. 选取初始点x0,k=0
2. 确定搜索方向dk
3. 从xk出发沿方向dk求步长λk，以产生下一个迭代点xk+1
4. 检查得到的新店xk+1是否为极小点或近似极小点；即，判断是否满足终止条件

之后各种算法的区分，主要在于搜索方向d^k的不同。

迭代步长常见方法：

1. 令它等于某一常数(例如令λk =1)，这样做不能保证目标函数值下降。
2. 第二种称为可接受点算法，只要能使目标函数值下降，可任意选取步长。
3. 第三种方法的思路是：沿搜索方向使目标函数值下降最多；求目标函数 f(x) 的极小：λk=arg min f(xk+λdk)

方法三又称精确一维搜索或精确线搜索或一维最优化，确定的步长为最佳步长。

注意：在搜索方向上所得最优点处的梯度和该搜索方向正交

精确的一维搜索方法：

1. 试探法：按某种方式找试探点，通过比较一系列试探点的函数值的大小确定极小点。 “成功-失败”法
2. 区间收缩法：用某种分割技术缩小最优解所在的区间(称为搜索区间)。 二分法、0.618法
3. 函数逼近法：用比较简单函数的极小值点近似代替原函数的极小值点。从几何上看是用比较简单的曲线近似代替原来的曲线，用简单曲线的极小值点代替原曲线的极小点。 Newton法、二次插值法、三次插值法

非精确一维搜索：
通过计算少量的函数值，得到一步长λk，使得后续迭代点x^k+1=x^k+λ_kd^k满足f(x^k+1)<f(x^k)，即使目标函数要“充分”下降

1. Armiji-Goldstein准则
2. Wolfe-Powell准则

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“成功-失败”法

常用的一维直接法有消去法和近似法两类。它们都是从某个初始搜索区间出发，利用单峰函数的消去性质，逐步缩小搜索区间，直到满足精度要求为止。

单峰函数：

进退算法（成功-失败法）
由单峰函数的性质可知，函数值在极小点左边严格下降，在右边严格上升。 （直接法）
基本思想：从某个初始点出发，沿函数值下降的方向前进，直至发现函数值上升为止。由两边高，中间低的三点，可确定极小点所在的初始区间。
步骤：

1. 选定初始点a和步长h
2. 计算并比较f(a)和f(a+h)；有前进和后退两种情况
   
   
   算法说明：
   缺点：效率低；
   优点：可以求搜索区间；
   注意：h选择要适当，初始步长不能选的太小，也不能太大

例题

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0.618法(黄金分割法)

0.618算是成功-失败法的进阶 （直接法）

成功-失败法的初始点是随机选取的；
黄金分割法考虑两个条件：

1. 对称原则： x₁ – a = b- x₂ 式(1)
   使“坏”情况去掉
2. 保持缩减比原则 t=(保留的区间长度／原区间长度) 不变 t=0.618
   
   联立式子1,2可求得t=0.618

最后初始的x1和x2选择为： t = 0.618
x1 = a + （1- t）(b - a )
x2 =a +t (b -a )

算法说明：
优点：不要求函数可微，且每次迭代只需计算一个函数值，计算量小，程序简单
缺点：收敛速度慢
比成功失败法效率稍微好一点

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二分法

基本思想 （非直接法）

计算步骤

算法说明
优点：计算量较少，总能收敛到一个局部极小点
缺点：收敛速度较慢

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牛顿法

牛顿法是一种函数逼近法，基本思想是：在极小点附近用函数的二阶泰勒多项式近似代替目标函数，从而求得目标函数的极小点的近似值。

计算步骤

算法说明
优点：收敛速度快，局部二阶收敛
缺点：须计算二阶导数，工作量大；对初始点要求高，要求初始点离极小点不太远，否则有可能使极小化发散或收敛到非极小点；局部收敛。

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插值法

二次插值法

（直接法）

基本原理：通过三个点模拟一个曲线，求此曲线的极小值点，每次迭代就模拟一次并求出极小点。
通过等式1，2，3不断化简，最后极小点求得为：

基本步骤：

每次选完x后x左右两边的点就为下一次迭代的x1,x3；终止条件由中间的点x2和x* 的差的绝对值判定。

三次插值法

基本思想：用四个已知值（如两个点函数值及其导数值）构造一个三次多项式P3(x)，用P3(x)的极小点近似目标函数的极小点x*； （非直接法）

三次插值法的收敛速度比二次插值法要快，达到2阶收敛速度。
利用函数在两点的函数值和导数值：
p(x) = A(x-x1)³+B(x-x1)²+C(x-x1)+D
推理过程：

根据极值的条件：

• 一阶必要条件：一阶导为0；
  
• 二阶充分条件：二阶导>0
  

最后迭代公式为：

满足(u-v+2w>0)

基本流程：

算法说明：
优点：收敛速度快
缺点：计算复杂，计算量大，

一维方法总结：

1. 如目标函数能求二阶导数：用Newton法 收敛快
2. 如目标函数能求一阶导数 ：首先考虑用三次插值法，收敛较快；二分法、收敛速度慢，但可靠；二次插值法也可选择。
3. 只需计算函数值的方法 ：首先考虑用二次插值法, 收敛快黄金分割法收敛速度较慢，但可靠

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非精确一维搜索

考虑非精确一维搜索方法的原因：

保证目标函数在每次迭代有满意下降量的方法，就是非精确一维搜索方法或称为可接受一维搜索方法。

Armijo-Goldstein准则

原理：

其中 0<ρ<1/2 目的是为保证目标函数有一个满意的下降量，必须避免步长太靠近区间的端点。

Armijo-Goldstein准则下可接受区间[b,c]，其中的点称为可接受步长

基本步骤：

A-G 方法会出现的问题是：把最佳步长排除在可接受区间外面。

Wolfe-Powell准则

原理：

计算步骤：

（感觉非精确一维计算不会考 就算会考会算就行）

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