数模笔记_多变量最优化的拉格朗日乘子方法中的灵敏性分析和影子价格_拉格朗日乘子灵敏度

Date: 2_21
Name: Guo Yehao
Theme: Sensitivity Analysis and Shadow Price in Optimality with multiple variables
Reference: 数学建模方法与分析(华章)

​ 承接之前的多变量最优化问题中，用拉格朗日乘子的方法讨论有约束条件的最优化问题，我们讨论这种范式下的灵敏性分析，分为弹性价格系数和约束条件的分析。

1. 首先是分析弹性价格系数，和无约束条件下的最优化问题相比，仍然是分析三个量：两个决策变量和目标值。我们有两条线索去讨论：

• 第一种显得机械和普遍。考察约束条件在这种情况下的所起的作用，虽然它增加了我们之前的讨论的难度，但是不要被迷惑，它所起的真正作用就是带来求解过程和解的形式的改变。将价格弹性系数用参数的形式代替，依然用常规的拉格朗日乘子方法求解即可，我们可以表示出两个决策变量，接着赋值表示出目标值，用计算机代数系统做形式计算，表示出灵敏度系数，在给定点(我们在主体部分求解出的点)求出灵敏性系数的数值，对灵敏性系数的实际意义稍加解释。

  再在一个较大范围分析价格弹性系数的影响，绘制两个决策变量和目标值关于价格弹性系数的曲线图。这可能与某些人对于灵敏性分析的"微小改变"认识不同，如果要强扣“帽子”，也许可以叫做稳健性分析吧。如果不谈什么形式上的“帽子”，从实际的角度去思考，对这个大范围问题的讨论有实际价值，它能够给出当价格弹性系数改变时，各个量的全局性改变。

• 第二种方法考虑到了梯度的几何意义，能够提供给我们在数学本质上的further