对抗样本生成算法-FGSM、I-FGSM、ILCM、PGD

一、FGSM(Fast Gradient Sign Method)

1.FGSM基本思想

Fast gradient sign method缩写为FGSM，其思想来源于“随机梯度下降使得模型对于输入图像输出的损失函数值变小，从而使网络输出正确的预测，那么如果将计算得出的损失值加到输入图像上，使得网络输出的损失值变大，即可使网络趋向于输出错误的预测结果”。

2.FGSM算法流程

需要进行对抗样本生成的原始图片$x_{ori}$，其标签为$y$，一个良好的分类模型$M$，分类模型$M$的参数$\theta$，同时需要使用FGSM生成一个攻击噪声$\eta$。
首先使用分类模型$M$对输出$x_{ori}$进行一个前向传播，可以计算ß出损失函数值${\nabla }_{x_{ori}}J(\theta ,x_{ori},y)$，因为损失计算得到的雅可比矩阵的元素大小不均，所以为了控制损失值的无穷范数（每一个像素的损失值的最大值），所以使用符号函数$sign()$提取梯度的方向，而不是用梯度的值，同时我们使用一个参数$\epsilon$来控制攻击噪声的幅值，满足${\Vert \eta \Vert }_{\infty }<\epsilon$。

综上
$$\eta =\epsilon sign({\nabla }_{x_{ori}}J(\theta ,x_{ori},y))\text{\hspace{1em}(1.1)}$$随后，将原图加上攻击噪声$\eta$即可得到原始图片$x_{ori}$的对抗样本$x_{adv}$
$$x_{adv}=x_{ori}+\eta \text{\hspace{1em}(1.2)}$$添加扰动之后的图片需要对于某些超出范围的像素进行裁剪。

FGSM虽然是白盒攻击方法，但其产生的对ß抗样本在面对黑盒模型时同样具有一定ß效ß果，现一般作为算法baseline进行比较。

3.FGSM扰动有效性分析

即分类网络线性因素越多，该网络越容易收到对抗扰动影响。

二、I-FGSM/BIM(Iterative FGSM)

1.I-FGSM与FGSM的区别

I-FGSM/BIM是FGSM的改进版，原始将FGSM所有的像素进行了一次性变化。且FGSM 只沿着梯度增加的方向添加一步扰动，而 BIM 则通过迭代的方式，沿着梯度增加的方向进行多步小扰动（该扰动幅值由公式中的$\alpha$控制），并且在每一小步后，重新计算梯度方向，相比FGSM能构造出更加精准的扰动，但代价是增大了计算量。

2.I-FGSM算法流程

X 0 a d v = X X N + 1 a d v = C l i p X , ε { X N a d v + α s i g n ( ∇ X J ( θ , X N a d v , y t r u e ) ) } (2.1) X_{0}^{adv}=X\\ X_{N+1}^{adv}=Clip_{X,\varepsilon}\{X_{N}^{adv}+\alpha sign(\nabla_{X} J(\theta,X_{N}^{adv},y_{true}))\} \tag{2.1} X0adv​=XXN+1adv​=ClipX,ε​{XNadv​+αsign(∇X​J(θ,XNadv​,ytrue​))}(2.1)其中，$X$是原始图片，$X_N^{adv}$是经过N次FGSM算法处理后的对抗样本，$Cli{p}_{X,\epsilon }(A)$函数将输入向量A中的每个元素$A_{i,j}$裁剪到$[X_{i,j}-\epsilon ,X_{i,j}+\epsilon ]$之间，$sign({\nabla }_{X}J(\theta ,X_N^{adv},y_{true})$与原始FGSM中对应计算量相同，$\alpha$代表每次迭代图像像素更新的幅值，例如将$\alpha$设为1则每一次迭代，图像像素只更新1或者-1。

迭代的含义：每次在上一步的对抗样本的基础上，各个像素增长（或者减少）$\alpha$，然后再执行裁剪，保证新样本的各个像素都在的$X_{i,j}$的$\epsilon$邻域内。这种迭代的方法是有可能在各个像素变化小于$\epsilon$的情况下找到对抗样本的，如果找不到，最差的效果就跟原始的FGSM一样。

三、ILCM(Iterative Least-likely Class Method)

1.ILCM与I-FGSM的区别

ILCM算法是I-FGSM的升级版，该算法将输入图像分类成原始图像最不可能被分到的类别，即在原始图片经过分类网络后分类置信度最低的类。

2.ILCM算法流程

X 0 a d v = X , X N + 1 a d v = C l i p X , ε { X N a d v − α s i g n ( ∇ X J ( θ , X N a d v , y L L ) ) } (3.1) X_{0}^{adv}=X,X_{N+1}^{adv}=Clip_{X,\varepsilon}\{X_{N}^{adv}-\alpha sign(\nabla_{X} J(\theta,X_{N}^{adv},y_{LL}))\} \tag{3.1} X0adv​=X,XN+1adv​=ClipX,ε​{XNadv​−αsign(∇X​J(θ,XNadv​,yLL​))}(3.1)
y L L = a r g   m i n y { p ( y ∣ X ) } (3.2) y_{LL}=arg\ min_{y}\{p(y|X)\} \tag{3.2} yLL​=arg miny​{p(y∣X)}(3.2)其中，$y_{LL}$是原始图片最不可能被分到的类别，且该标签不会随着扰动的添加在改变，即$y_{LL}$只与$X$有关，与$X_N^{adv}$无关。

从公式中可以看到和FGSM无目标攻击公式的最大区别在于对抗扰动项前面的加号变成减号，同时原本的真实标签$y_{true}$变成$y_{LL}$，目的是使得模型优化目标$y_{LL}$的分类概率越来越大。

四、PGD(Projected Gradient Descent)

1.PGD与I-FGSM的区别

PGD是在BIM的基础上，对原始样本在其邻域范围内随机扰动作为算法初始输入，经多次迭代后生成对抗样本，其性能得到显著改善，具有较好的迁移性和抗破坏能力。

2.PGD指导对抗样本防御

提出该方法的论文的中心思想：

How can we train deep neural networks that are robust to adversarial inputs?如何训练模型，使其能对某一类攻击都鲁棒？
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原始的网络训练方式Empirical risk minimization (ERM，经验风险最小化)，即找到一组模型参数$\theta$，使：
min ⁡ { ρ ( θ ) } ⇔ min ⁡ { E ( x , y ) ∼ D [ L ( x , y , θ ) ] } (4.1) \min\{\rho(\theta)\}⇔ \min\{\mathbb{E}_{(x,y)∼D}[L(x,y,\theta)]\} \tag{4.1} min{ρ(θ)}⇔min{E(x,y)∼D​[L(x,y,θ)]}(4.1)传统的网络训练方式对于常规数据分布具有良好的拟合能力，但该方法训练的模型一般无法抵御对抗样本攻击。我们将对抗扰动引入经验风险最小化范式中，使网络训练中将对抗扰动考虑在内，即找到一组模型参数$\theta$，使：
min ⁡ { ρ ( θ ) } ⇔ min ⁡ { E ( x , y ) ∼ D [ max ⁡ δ ∈ S L ( x + δ , y , θ ) ] } (4.2) \min\{\rho(\theta)\}⇔ \min\{\mathbb{E}_{(x,y)∼D}[\max\limits_{\delta\in S} L(x+\delta,y,\theta)]\} \tag{4.2} min{ρ(θ)}⇔min{E(x,y)∼D​[δ∈Smax​L(x+δ,y,θ)]}(4.2)其中$S$是一组选定的扰动，也是无穷范数球的球面限制，限制对抗扰动的幅值。
（4.2）式包括了内部最大化和外部最小化，因此可以视为鞍点（min-max）问题，同时清晰地描述了鲁棒模型应该达到的目标：内部最大化目的在于寻找最优的对抗样本使分类网络训练达到很高，外部最小化目的在于寻找模型参数抵抗对抗样本的攻击。所以，最终训练得到的模型也具有稳定的对抗鲁棒性。内部最大化可以指导对抗样本的生成，而外部最大化可以指导网络训练。

3.PGD指导对抗样本生成（算法流程）

X 0 = X X N + 1 = ∏ X + S { X N + α s i g n [ ∇ X J ( θ , X N , y t r u e ) ] } (4.3) X^{0}=X \\X^{N+1}=\prod_{X+S}\{X^{N}+\alpha sign[\nabla_{X} J(\theta,X^{N},y_{true})]\} \tag{4.3} X0=XXN+1=X+S∏​{XN+αsign[∇X​J(θ,XN,ytrue​)]}(4.3)${\prod }_{X+S}$符号限制对抗扰动在球面范围内。其中，$X$是原始图片，$X^N$是经过N次FGSM算法处理后的对抗样本，$sign({\nabla }_{X}J(\theta ,X^N,y_{true})$与原始FGSM中对应计算量相同，$\alpha$代表每次迭代图像像素更新的幅值，例如将$\alpha$设为1则每一次迭代，图像像素只更新1或者-1。

同时，PGD会在对抗样本攻击前在样本中随机加入一些噪声，在进行对抗样本迭代生成，该方法被证明是一阶攻击方法中最强大的一种。

五、PGD与I-FGSM的区别

PGD的无穷范数版本基本等于I-FGSM，但PGD的无穷范数版本多了在对抗攻击之前的随机初始化，即在原始图片中添加随机噪声。PGD是I-FGSM的推广，I-FGSM是PGD的特例。PGD攻击强度大于I-FGSM。

图片来自：http://www.jsjkx.com/CN/article/openArticlePDF.jsp?id=20078