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超模函数与低模函数_supermodular
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偶尔在马尔科夫决策的书中接触到了超模函数，发现超模函数在博弈论中也有应用，决定记录下来。
设一个函数为 g ( x , y ) g(x, y) g(x,y)，若对于任意 x 1 > x 2 x_1>x_2 x1>x2 与 y 1 > y 2 y_1>y_2 y1>y2，有
g ( x 1 , y 1 ) + g ( x 2 , y 2 ) ≥ g ( x 1 , y 2 ) + g ( x 2 , y 1 ) g(x_1,y_1)+g(x_2,y_2)\geq g(x_1, y_2) + g(x_2, y_1) g(x1,y1)+g(x2,y2)≥g(x1,y2)+g(x2,y1)
则称 g ( x , y ) g(x,y) g(x,y) 为超模函数（super-modular function）。
如果 g ( x , y ) g(x, y) g(x,y) 可导的话，这也等价于：
g ( x , y ) ∂ x ∂ y ≥ 0 \frac{g(x,y)}{\partial x\partial y}\geq 0 ∂x∂yg(x,y)≥0
同理，若 g ( x , y ) ∂ x ∂ y ≤ 0 \frac{g(x,y)}{\partial x\partial y}\leq 0 ∂x∂yg(x,y)≤0，则为低模函数（sub-modular function）。
在经济学中，超模函数用来描述互补产品，例如键盘和鼠标。一个产品销量的增加也会引起另一个产品销量的增加。
而低模函数用来描述可替代产品，一个产品销量的增加引起另一个产品销量的减少。
