线性DP例题—破损的楼梯_破损的台阶csdn

破损的楼梯
问题描述
小蓝来到了一座高耸的楼梯前，楼梯共有N级台阶，从第0级台阶出发。小蓝每次可以迈上1级或2级台阶。但是，楼梯上的第a1级、第a₂级、第ag级，以此类推，共M级台阶的台阶面已经坏了，不能踩上去。
现在，小蓝想要到达楼梯的顶端，也就是第N级台阶，但他不能踩到坏了的台阶上。请问他有多少种不踩坏了的台阶到达顶端的方案数?
由于方案数很大，请输出其对10°+7取模的结果。
输入格式
第一行包含两个正整数N(1≤N≤10⁵)和M(O≤M≤N),表示楼梯的总级数和坏了的台阶数。
接下来一行，包含M个正整数a1,a2,...,am(1≤al<a2<
a3<am≤N),表示坏掉的台阶的编号。
输出格式
输出一个整数，表示小蓝到达楼梯顶端的方案数，对10⁹+7取模。
样例输入
61
3
样例输出
4
运行限制
语言
最大运行时间
C++
1s
C
1s
Java
2s
Python3
3s
最大运行内存
256M
256M
256M
256M

我的答案:

一、信息

• 楼梯总级数：N
• 坏了的台阶数：M
• 坏了的台阶编号：a1, a2, ..., am
• 小蓝每次可以迈上：1级或2级台阶
• 目标：计算小蓝不踩坏了的台阶到达顶端的方案数，并对10⁹+7取模

二、分析

• 信息作用：
  • 楼梯总级数N决定了小蓝需要达到的目标高度。
  • 坏了的台阶数M和坏了的台阶编号决定了小蓝不能走的台阶。
  • 小蓝每次可以迈上1级或2级台阶，决定了他每一步的可能性。
• 思考过程：
  • 问题可以转化为动态规划问题，每到达一个台阶的方案数依赖于之前的状态。
  • 对于每一级台阶i，其方案数可由前一级台阶i-1和前两级台阶i-2的方案数累加得到，除非该级台阶坏了。
• 分析过程：
  • 定义一个数组dp，其中dp[i]表示到达第i级台阶的方案数。
  • 初始化dp[0] = 1（站在地面上只有一种方式），对于第1级台阶，如果它不是坏的，那么dp[1] = 1。
  • 从第2级台阶开始遍历到N级台阶，如果当前台阶i没坏，那么dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。
  • 最后输出dp[N]对10⁹+7取模的结果。

三、算法设计

• 初始化一个长度为N+1的数组dp，所有元素为0。
• 设置dp[0] = 1，表示在开始位置的方案数。
• 遍历每一级台阶i从1到N：
  • 如果台阶i没有坏，更新dp[i] = (dp[i-1] + (i >= 2 ? dp[i-2] : 0)) % (10⁹+7)。
• 输出dp[N]。

四、代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
 
const int MOD = 1e9 + 7;
 
int main() {
    int N, M;
    cin >> N >> M;
    vector<bool> bad(N + 1, false); // 标记坏的台阶
    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        int a;
        cin >> a;
        bad[a] = true;
    }
 
    vector<int> dp(N + 1, 0);
    dp[0] = 1; // 在地面，只有一种方式
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        if (!bad[i]) {
            dp[i] = dp[i - 1] + (i >= 2 ? dp[i - 2] : 0);
            dp[i] %= MOD;
        }
    }
 
    cout << dp[N] << endl;
    return 0;
}

五、实现代码过程中可能遇到的问题

• 数组越界：需要确保在访问dp数组时，索引是有效的，特别是当i-2可能小于0时。
• 模运算性质：在进行加法操作后立即取模，以避免整数溢出。
• 初始化问题：确保所有dp数组元素初始化为0，坏的台阶对应的dp值保持为0。
• 逻辑错误：在处理坏掉的台阶时，确保不会更新其dp值，因为不能踩上去。

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正确答案：

源代码: 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10 , mod = 1e9 + 7;
int n , m , x , f[N] , vis[N];
signed main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1 ; i <= m ; i ++) {
        cin >> x;
        vis[x] = 1;
    }
    f[0] = 1;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
        if(vis[i]) continue ;
        f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
        f[i] %= mod;
    }
    cout << f[n] << '\n';
    return 0;
}