线性代数复习总结——基本概念

参考资料：
线性代数知识汇总
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1. 行列式

2. 矩阵

2.1 矩阵的运算

• 矩阵与矩阵相乘：满足结合率和分配律，但不满足交换律，即$AB\ne BA;$

• 数乘矩阵
  

• 转置矩阵：
  ①$(A+B{)}^T=A^T+B^T$
  ②$(AB{)}^T=B^T{A}^T$
  ③$(\lambda A{)}^T=\lambda A^T$
  ③如果满足$A=A^T$，则A称为对称矩阵。
  

• 矩阵的行列式：
  ①$|AB|=|A||B|$
  ②$|\lambda A|={\lambda }^{n}A$

• 伴随矩阵：行列式|A|各个元素的代数余子式构成的矩阵。
  ①$A^{\ast }A=A{A}^{\ast }=|A|E$

• 可逆矩阵（非奇异矩阵）
  ①若$|A|\ne 0$，则$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$
  推论：若$|A|\ne 0$，则$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$
  推论：若$|A|\ne 0$，则$A^{\ast }=||A|A^{-1}|=|A{|}^{n-1};$
  ②若方阵A可逆，则$|A|\ne 0;$
  ③$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
  ④$(\lambda A{)}^T=\frac{1}{\lambda }{A}^T$

2.2 矩阵的秩

• K阶子式：在矩阵A中任取k行k列，获得位于行列交叉处的$k^2$个元素。在不改变它们的位置次序得到的k阶行列式。
  ①$m\times n$矩阵A的k阶子式有$C_m^k{C}_n^k$个。
  

• 秩：假设矩阵A有一个不为零的r阶子式D，而A的所有r+1阶子式全为0.称数r为矩阵A的秩。
  ①矩阵A的秩是A中非零子式的最高阶数。
  ②$R(A)=R(A^T)$
  ③若矩阵A, B等价，则$R(A)=R(B)$

• 满秩矩阵：当$|A|\ne 0$时，$R(A)=n$。A为可逆矩阵，也是满秩矩阵。

2.3 矩阵的变换

• 矩阵的初等变换
  

• 矩阵间的等价关系
  ①矩阵A与矩阵B等价，记作$A\sim B$，即A通过有限次初等变换可以转换为B。
  

• 行阶梯形矩阵
  

• 行阶最简矩阵
  

• 标准型矩阵
  

2.4 线性方程组的多解

对于n元线性方程组$Ax=b$：

• 若$R(A)<R(A,B)\leftrightarrow$方程无解。
• 若$R(A)=R(A,B)=n\leftrightarrow$方程有唯一解。
• 若$R(A)=R(A,B)<n\leftrightarrow$方程有无数解。
  

3. 向量

• 向量组：若干同维数的列向量（行向量）所组成的集合。

3.1 线性相关

• 线性组合
  
• 线性表示
  
  
• 向量组的线性相关性：
  

3.2 最大无关组和向量组的秩

设有向量组A，如果在A中能选出r个向量，满足：
①向量组A0：$a_1,a_2,\cdots ,a_r$线性无关。
②向量组A中任意r+1个向量都线性相关。

• 最大线性无关向量组：向量组$A_0$是一个最大线性无关向量组。
  ①向量组A和它的最大无关组$A_0$是等价的。

• 向量组的秩：最大无关向量组所含向量的个数。

3.3 线性方程组解的结构

线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系。

• 解向量：由线性方程组的解组成的向量。
  
• 基础解系：称满足如下条件的解向量是齐次线性方程组的一个基础解系。
  ①解向量是线性无关的。
  ②方程的任意一个解都可以表示为解向量的线性组合。

3.4 向量空间

• 封闭：集合中任意两个元素做某一运算得到的结果仍属于该集合。
• 向量空间：非空集合V对加法和减法两种运算封闭。
• 子空间：非空子集合V1对加法和减法两种运算封闭。
• 向量空间的基：有向量空间V，从V中选出r个向量满足：
  ①r个向量线性无关。
  ②V中任意一个向量能有这r个向量表示。
  则r是向量空间V的维数，并且V为r维向量空间。
  

4. 相似矩阵与二次型

（1）基本概念

• 向量的内积
  

4.1 正交矩阵

• 向量的正交性：当[x,y]等于0时，向量x和y正交。
  ①$\theta =\arccos \frac{[x,y]}{|x||y|}$
  ②若x=0，则x与任何向量都正交。

• 正交向量组：两两正交的非零向量组成的向量组。
  ①组成正交向量组的向量线性无关。
  

• 规范正交基
  

4.2 正交矩阵和正交变换

• 正交矩阵：如果矩阵A满足$A{A}^T=E$，则矩阵A为正交矩阵。
  
• 正交变换：若P是正交阵，则线性变换$y=Px$称为正交变换。
  ①正交变换后，线段的长度保持不变。
  

4.3 方阵的特征值与特征向量

• 特征值与特征向量：如果A是n阶矩阵，数$\lambda$和n维非零向量x满足：$Ax=\lambda x$，则$\lambda$是A的特征值，x是A的特征向量。
  

• 特征方程：$|A-\lambda E|=0;$

• 特征多项式：$|A-\lambda E|;$

• 性质：设A的特征值为${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$，则
  ①${\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n=a_{11}+\cdots +a_{nn};$
  ②${\lambda }_1\cdots {\lambda }_n=|A|;$
  

4.3 正定矩阵与相似矩阵

• 半正定矩阵：当且仅当它的每个特征值大于等于零。
• 正定矩阵：当且仅当它的每个特征值都大于零。
• 相似矩阵：B是A的相似矩阵，当有可逆矩阵P满足$P^{-1}AP=B;$
  ①若A, B相似，则A和B的特征值和特征多项式相同。

4.4 对称矩阵的对角化

• 可对角化的充要条件：A有n个线性无关的特征向量。
  ①如果A有n个不同的特征值，则A和对角阵相似。
  

4.6 二次型及其他标准型

• 二次型：
  
  
• 二次型的矩阵
  
• 二次型f的秩：二次型的矩阵A的秩。
• 合同矩阵：矩阵A和B合同，当有可逆矩阵C满足$C^{T}AC=B$.
  ①二次型f的矩阵由A变为与A合同的矩阵，且秩不变。
  ②$R(A)=R(B)$