贪心算法（集合覆盖问题）

一、贪心算法概述

贪心算法的核心思想可以总结为：贪心算法总是做出在当前看来最好的选择。

也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。

虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解，如单源最短路经问题，最小生成树问题等。虽然在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，但其最终结果却是最优解的很好近似。

二、集合覆盖问题

2.1 问题描述

假设你办了个广播节目，要让国内的 8 个重要城市的听众都收听得到。为此，你需要决定在哪些广播台播出。在每个广播台播出都需要支付费用，因此你力图在尽可能少的广播台播出。现有广播台名单如下。

如何选择最少的广播台，让所有的城市都可以接收到信号？

2.2 集合覆盖问题的贪心算法

每个广播台都覆盖特定的区域，不通过的广播覆盖的区域可能是重叠的。如何找出覆盖 8 个城市的最小广播台集合呢？

首先我们最容易想到的办法就是穷举法：

1. 列出每个可能的广播台的集合，可能的集合有 2ⁿ 个；
2. 在这个集合中，选出能够覆盖 8 个城市的最小集合。

上面这个方法确实可以求得最终结果，但是问题在于 n 个广播台可能的集合有 2ⁿ 个，因此运行时间为 O(2ⁿ)。如果广播台不多，比如只有 5~10 个，这个方法倒还可行。但是一旦问题的规模变大，广播台的数量增多，需要的时间将激增。假设每秒可以计算出 10 个集合，那么所需的时间如下表所示：

显然，使用穷举所有集合的方法不是一个明智的选择。

针对这类集合覆盖问题，贪心算法是一个比较合适的算法，虽然贪心算法不一定能够得到最优解，但是它可以得到非常接近的解。

对于本题，贪心算法的基本思想如下：

1. 优先选择出覆盖了最多未被覆盖的城市的广播台。即使这个广播台覆盖了一些已覆盖的城市也没关系；
2. 重复第一步，直到选出的广播台覆盖了所有的城市。

可以看到，使用贪心算法解决集合覆盖问题的思路贯彻着 “选择当下看来最好的选择” 这样的思想。简单来说就是走好每一步路，最终得到的结果必定不会太差。

贪心算法不仅简单，而且运行速度也很快。对于本题，贪心算法的运行时间为 O(n²)，其中 n 为广播台的数量。

2.3 代码实现

首先来说一下代码实现的思路：

1. 创建一个集合 cities，存放所有的城市；
2. 创建一个散列表 broadcast，广播站作为键，对应的城市作为值；
3. 创建一个集合 selectedList，用于存放已选择的广播站；
4. 遍历散列表，找到覆盖了最多未覆盖的城市的广播站，将其加入到已选择广播站集合 selectedList中；
5. 将上一步选择的广播站所覆盖的城市从城市集合 cities 中移除，同时将广播站从散列表中移除；
6. 重复执行 4、5 步，直至城市集合为空。

完整的代码实现如下 ：

public static void main(String[] args) {
   
    HashMap<String, Set> broadcast = new HashMap<>();   // 用于存放广播和覆盖的城市
    HashMap<String, Set> selectedList = new HashMap<>(<
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