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第十五届蓝桥杯C++ B组题解_蓝桥杯15届省赛题解

蓝桥杯15届省赛题解

 

A. 握手问题

填空题

        小蓝组织了一场算法交流会议,总共有 50 人参加了本次会议。在会议上, 大家进行了握手交流。按照惯例他们每个人都要与除自己以外的其他所有人进 行一次握手(且仅有一次)。但有 7 个人,这 7 人彼此之间没有进行握手(但 这 7 人与除这 7 人以外的所有人进行了握手)。请问这些人之间一共进行了多 少次握手?

        注意 A 和 B 握手的同时也意味着 B 和 A 握手了,所以算作是一次握手。

思路:

模拟

        将50个人从1到50标号,对于每两个人之间只握一次手,我们可以将问题转化为每个人只主动和标号比他大的人握一次手,那么标号为 1 的人,需要主动握 49 次,标号为 2 的人,需要主动握 48 次,以此类推,标号为 i 的人需要主动握 50 - i 次。(这边强烈建议 I 人往后排)

        经过上述流程,我们即可得到不加限制条件下的总握手次数为 1 + 2 + ... + 48 + 49 = 1225

        接下来我们来处理限制条件,我们假设相互之间没有握手的这七个人为标号 1 ~ 7 的七个人,那么如果他们之间有相互握手的话,根据前述流程可得他们之间握手次数为 1 + 2 + ... + 6  = 21

        用总次数减去多余握手次数(前七个人间相互握手次数)即得到限制条件下的握手次数,即为 1204

可用代码实现求和、求差过程

       

代码实现: 

  1. #include <iostream>
  2. using namespace std;
  3. int main()
  4. {
  5. int sum1 = 0, sum2 = 0;
  6. for(int i = 1; i <= 50; i ++)
  7. {
  8. sum1 += 50 - i;
  9. }
  10. for(int i = 1; i <= 7; i ++)
  11. {
  12. sum2 += 7 - i;
  13. }
  14. printf("%d", sum1 - sum2);
  15. return 0;
  16. }

 

B. 小球反弹

填空题

        有一长方形,长为 343720 单位长度,宽为 233333 单位长度。在其内部左 上角顶点有一小球(无视其体积),其初速度如图所示且保持运动速率不变,分 解到长宽两个方向上的速率之比为 dx : dy = 15 : 17。小球碰到长方形的边框时 会发生反弹,每次反弹的入射角与反射角相等,因此小球会改变方向且保持速 率不变(如果小球刚好射向角落,则按入射方向原路返回)。从小球出发到其第 一次回到左上角顶点这段时间里,小球运动的路程为多少单位长度?答案四舍 五入保留两位小数。

f607c65de1a84a7982df16f44f39c033.png

思路:

不会写,不知道答案是多少,不知道在哪找答案

代码实现:

//整个空框占个位置(实际没打算补)

C. 好数

编程题

         一个整数如果按从低位到高位的顺序,奇数位(个位、百位、万位 · · · )上 的数字是奇数,偶数位(十位、千位、十万位 · · · )上的数字是偶数,我们就称 之为“好数”。

        给定一个正整数 N,请计算从 1 到 N 一共有多少个好数。

 输入格式

 一个整数 N(1 ≤ N ≤ 1e7)

输出格式 

输出一个整数表示 1 到 N 之间好数的个数

样例输入1 

24

样例输出1 

7

样例输入2

2024

样例输出2 

150

 思路:

枚举 + 数位拆分

         对于 1 ~ N 中的每一个数字,我们都需要判断它是否是好数(依次判断每一位数字是否符合条件),于是我们需要对每一位数字进行数位拆分,因为 N 最大为 1e7,所以每个数字数位拆分的最大时间复杂度 lgN 小于10。依次枚举1 ~ N中每一个数字,对其进行数位拆分判断是否为好数,计数输出答案即可

代码实现:

  1. #include <iostream>
  2. using namespace std;
  3. bool check(int x)
  4. {
  5. int k = 1, w;
  6. while(x)
  7. {
  8. w = x % 10;
  9. if(k % 2 != w % 2) return false;
  10. x /= 10;
  11. k ++;
  12. }
  13. return true;
  14. }
  15. int main()
  16. {
  17. int n, ans = 0;
  18. scanf("%d",&n);
  19. for(int i = 1; i <= n; i ++)
  20. {
  21. if(check(i))
  22. {
  23. ans ++;
  24. }
  25. }
  26. printf("%d", ans);
  27. return 0;
  28. }

 

D. R 格式 

编程题

        小蓝最近在研究一种浮点数的表示方法:R 格式。对于一个大于 0 的浮点数 d,可以用 R 格式的整数来表示。给定一个转换参数 n,将浮点数转换为 R 格式整数的做法是:

        1. 将浮点数乘以 2^n(2 的 n 次方) ;

        2. 四舍五入到最接近的整数。

输入格式 

一行输入一个整数 n 和一个浮点数 d,分别表示转换参数,和待转换的浮点数。

输出格式 

输出一行表示答案:d 用 R 格式表示出来的值。

 样例输入

2 3.14

样例输出 

13

思路:

高精度加法模拟

        用 string 读入浮点数 d,将其逆置之后,循环 n 次,每次循环使 d 加上它本身,最后四舍五入输出整数位即可(最初逆置过了,记得从后往前输出)

代码实现:

  1. #include <iostream>
  2. #include <string>
  3. #include <algorithm>
  4. using namespace std;
  5. int n;
  6. string s;
  7. // s 自加 s
  8. void Do()
  9. {
  10. int a, f = 0, m = s.size();
  11. for(int i = 0; i < m; i ++)
  12. {
  13. if(s[i] == '.') continue;
  14. a = f; f = 0;
  15. a += 2 * (s[i] - '0');
  16. if(a >= 10) f = 1;
  17. a %= 10;
  18. s[i] = '0' + a;
  19. }
  20. if(f) s += '1';
  21. }
  22. int main()
  23. {
  24. ios::sync_with_stdio(0);
  25. cin.tie(0); cout.tie(0);
  26. cin >> n >> s;
  27. reverse(s.begin(), s.end());
  28. //加倍 n 次
  29. while(n --)
  30. {
  31. Do();
  32. }
  33. //四舍五入
  34. int a, m = 0, f = 0;
  35. while(s[m] != '.') m ++;
  36. if(s[m - 1] >= '5') f = 1; m ++;
  37. while(f && m < s.size())
  38. {
  39. s[m] += 1;
  40. f = 0;
  41. if(s[m] > '9')
  42. {
  43. s[m] = '0';
  44. f = 1;
  45. }
  46. m ++;
  47. }
  48. if(f) s += '1';
  49. //输出
  50. n = s.size() - 1;
  51. while(s[n] != '.')
  52. {
  53. cout << s[n --];
  54. }
  55. return 0;
  56. }

 

E.宝石组合

编程题

        在一个神秘的森林里,住着一个小精灵名叫小蓝。有一天,他偶然发现了一个隐藏在树洞里的宝藏,里面装满了闪烁着美丽光芒的宝石。这些宝石都有 着不同的颜色和形状,但最引人注目的是它们各自独特的 “闪亮度” 属性。每颗 宝石都有一个与生俱来的特殊能力,可以发出不同强度的闪光。小蓝共找到了 N 枚宝石,第 i 枚宝石的 “闪亮度” 属性值为 Hi,小蓝将会从这 N 枚宝石中选出三枚进行组合,组合之后的精美程度 S 可以用下图公式来衡量

ddecbc0d26ed4e0d8f702cef84e07903.png

        小蓝想要使得三枚宝石组合后的精美程度 S 尽可能的高,请你帮他找出精美程度最高的方案。如果存在多个方案 S 值相同,优先选择按照 H 值升序排列后字典序最小的方案。

 输入格式:

 第一行包含一个整数 N 表示宝石个数。

第二行包含 N 个整数表示 N 个宝石的 “闪亮度”。

输出格式: 

输出一行包含三个整数表示满足条件的三枚宝石的 “闪亮度”。

 样例输入:

5

1 2 3 4 9

样例输出: 

1 2 3

 思路:

约数 + 枚举

        打表可以发现精美程度 S 其实是三个宝石闪亮度的最大公约数(别问我怎么发现的,我也不知道,群友说的,我赛时纯暴力),当然,佬们也可以尝试用题给式子推导一下,本题解不再赘述(主要我也不会推导)

        我们用邻接表来存所有宝石闪亮度中,1 ~ 100000的倍数,st数组用于存放所有宝石闪亮度中1 ~ 100000之间每个数字的倍数出现的次数。从大到小去寻找第一个倍数出现3个或3个以上的数字,则这个数字就是所有宝石选择方案中能得到的最大的精美程度 S。

        此处注意我们将所有宝石闪亮度从大到小排序,优先去在邻接表中插入较大闪亮度(用头插法),以保证我们后面输出时按字典序(从小到大的顺序,我也好奇为什么蓝桥杯要整个字典序这个名词)去输出。

        注意:数组一定要开得足够大,因为邻接表中每个宝石的闪亮度会被存它的约数个数次,只开1e5是远远不够的

代码实现: 

  1. #include <iostream>
  2. #include <algorithm>
  3. #include <cstring>
  4. using namespace std;
  5. const int N = 1e6 + 20;
  6. int n, q[N], st[N];
  7. int h[N], e[2 * N], ne[2 * N], idx;
  8. bool cmp(int a, int b)
  9. {
  10. return a > b;
  11. }
  12. void add(int x, int y)
  13. {
  14. e[idx] = y;
  15. ne[idx] = h[x];
  16. h[x] = idx ++;
  17. }
  18. void check(int x)
  19. {
  20. for(int i = 1; i <= x / i; i ++)
  21. {
  22. if(x % i == 0)
  23. {
  24. add(i, x);
  25. st[i] ++;
  26. if(i != x / i)
  27. {
  28. st[x / i] ++;
  29. add(x / i, x);
  30. }
  31. }
  32. }
  33. }
  34. int main()
  35. {
  36. scanf("%d",&n);
  37. for(int i = 1; i <= n; i ++)
  38. {
  39. scanf("%d",&q[i]);
  40. }
  41. sort(q + 1, q + n + 1, cmp);
  42. memset(h, -1, sizeof(h));
  43. for(int i = 1; i <= n; i ++)
  44. {
  45. check(q[i]);
  46. }
  47. int k = 1;
  48. for(int i = 100010; i > 1; i --)
  49. {
  50. if(st[i] >= 3)
  51. {
  52. k = i;
  53. break;
  54. }
  55. }
  56. for(int i = h[k], cnt = 0; cnt < 3; i = ne[i], cnt ++)
  57. {
  58. printf("%d ", e[i]);
  59. }
  60. return 0;
  61. }

 

F.数字接龙

编程题

        小蓝最近迷上了一款名为《数字接龙》的迷宫游戏,游戏在一个大小为 N × N 的格子棋盘上展开,其中每一个格子处都有着一个 0 . . . K − 1 之间的整 数。游戏规则如下:

        1. 从左上角 (0, 0) 处出发,目标是到达右下角 (N − 1, N − 1) 处的格子,每一 步可以选择沿着水平/垂直/对角线方向移动到下一个格子。

        2. 对于路径经过的棋盘格子,按照经过的格子顺序,上面的数字组成的序列 要满足:0, 1, 2, . . . , K − 1, 0, 1, 2, . . . , K − 1, 0, 1, 2 . . . 。

        3. 途中需要对棋盘上的每个格子恰好都经过一次(仅一次)。

        4. 路径中不可以出现交叉的线路。例如之前有从 (0, 0) 移动到 (1, 1),那么再 从 (1, 0) 移动到 (0, 1) 线路就会交叉。

        为了方便表示,我们对可以行进的所有八个方向进行了数字编号,如下图 2 所示;因此行进路径可以用一个包含 0 . . . 7 之间的数字字符串表示,如下图 1 是一个迷宫示例,它所对应的答案就是:41255214。

688cb713bd6b4e29be00dadc448d8329.png

        现在请你帮小蓝规划出一条行进路径并将其输出。如果有多条路径,输出 字典序最小的那一个;如果不存在任何一条路径,则输出 −1。

 输入格式:

第一行包含两个整数 N、K。

接下来输入 N 行,每行 N 个整数表示棋盘格子上的数字。

输出格式: 

输出一行表示答案。如果存在答案输出路径,否则输出 −1。

样例输入: 

3 3

0 2 0

1 1 1

2 0 2

样例输出:

41255214

 思路:

DFS模拟

        我们从起点出发,以0 ~ 7 的顺序依次判断当前点的周围8个点是否符合题给要求(该点上的数字、路径是否交叉、该点是否被走过、是否越界),当搜到第一条路径时,直接全部返回(因为我们是按 0 ~ 7 的顺序去搜的,所以第一次找到的路径一定为字典序最小的路径)。这里采用 unordered_map去记录两点之间是否存在路径,进而判断路径是否交叉。

        注意:

                1. 从main函数进入dfs的时候,u的传值一定不要直接传1,因为k可能为1(血的教训)

                2.题面有歧义,当测试点为 1 1 0 (0为棋盘上的数字)时,要输出-1还是无输出不确定,赛时我写的没有输出,但是C语言网上按-1输出的,卡了好久才发现

代码实现: 

  1. #include <iostream>
  2. #include <vector>
  3. #include <unordered_map>
  4. using namespace std;
  5. bool f;
  6. int n, k, q[20][20], st[20][20];
  7. vector<int> ans, w;
  8. unordered_map<long long, int> mp; //用于记录两点之间是否有连线
  9. void dfs(int x, int y, int cnt, int u)
  10. {
  11. if(f) return;
  12. if(cnt == n * n)
  13. {
  14. if(x == n && y == n)
  15. {
  16. f = 1;
  17. if(ans > w) ans = w;
  18. return;
  19. }
  20. return;
  21. }
  22. if(x == n && y == n)
  23. {
  24. return;
  25. }
  26. int a, b;
  27. for(int i = 0; i < 8; i ++)
  28. {
  29. switch(i)
  30. {
  31. case 0: a = x - 1; b = y; break;
  32. case 1: a = x - 1; b = y + 1; break;
  33. case 2: a = x; b = y + 1; break;
  34. case 3: a = x + 1; b = y + 1; break;
  35. case 4: a = x + 1; b = y; break;
  36. case 5: a = x + 1; b = y - 1; break;
  37. case 6: a = x; b = y - 1; break;
  38. case 7: a = x - 1; b = y - 1; break;
  39. }
  40. if(i == 1)
  41. {
  42. if(mp[((x - 1) * 1000 + y) * 10000000 + x * 1000 + (y + 1)])
  43. {
  44. continue;
  45. }
  46. }
  47. else if(i == 3)
  48. {
  49. if(mp[((x + 1) * 1000 + y) * 10000000 + x * 1000 + (y + 1)])
  50. {
  51. continue;
  52. }
  53. }
  54. else if(i == 5)
  55. {
  56. if(mp[((x + 1) * 1000 + y) * 10000000 + x * 1000 + (y - 1)])
  57. {
  58. continue;
  59. }
  60. }
  61. else if(i == 7)
  62. {
  63. if(mp[((x - 1) * 1000 + y) * 10000000 + x * 1000 + (y - 1)])
  64. {
  65. continue;
  66. }
  67. }
  68. if(a > 0 && a <= n && b > 0 && b <= n && q[a][b] == u && !st[a][b])
  69. {
  70. if(i % 2)
  71. {
  72. mp[(a * 1000 + b) * 10000000 + x * 1000 + y] = 1;
  73. mp[(x * 1000 + y) * 10000000 + a * 1000 + b] = 1;
  74. }
  75. st[a][b] = 1;
  76. w[cnt] = i;
  77. dfs(a, b, cnt + 1, (u + 1) % k);
  78. st[a][b] = 0;
  79. if(i % 2)
  80. {
  81. mp[(a * 1000 + b) * 10000000 + x * 1000 + y] = 0;
  82. mp[(x * 1000 + y) * 10000000 + a * 1000 + b] = 0;
  83. }
  84. if(f) return;
  85. }
  86. }
  87. }
  88. int main()
  89. {
  90. scanf("%d %d",&n, &k);
  91. for(int i = 1; i <= n; i ++)
  92. {
  93. for(int j = 1; j <= n; j ++)
  94. {
  95. scanf("%d",&q[i][j]);
  96. ans.push_back(10);
  97. w.push_back(0);
  98. }
  99. }
  100. if(n == 1 || q[1][1] != 0)
  101. {
  102. printf("-1");
  103. return 0;
  104. }
  105. st[1][1] = 1;
  106. dfs(1, 1, 1, 1 % k);
  107. if(f)
  108. {
  109. for(int i = 1; i < n * n; i ++)
  110. {
  111. printf("%d", ans[i]);
  112. }
  113. }
  114. else printf("-1");
  115. return 0;
  116. }

G.爬山

编程题

        小明这天在参加公司团建,团建项目是爬山。在 x 轴上从左到右一共有 n座山,第 i 座山的高度为 hi。他们需要从左到右依次爬过所有的山,需要花费的体力值为 S = Σni=1hi。

        然而小明偷偷学了魔法,可以降低一些山的高度。他掌握两种魔法,第一种魔法可以将高度为 H 的山的高度变为 ⌊√H⌋,可以使用 P 次;第二种魔法可以将高度为 H 的山的高度变为 ⌊H/2⌋,可以使用 Q 次。并且对于每座山可以按任意顺序多次释放这两种魔法。

        小明想合理规划在哪些山使用魔法,使得爬山花费的体力值最少。请问最优情况下需要花费的体力值是多少?

 输入格式:

输入共两行。

第一行为三个整数 n,P,Q。

第二行为 n 个整数 h1,h2,. . . ,hn。

输出格式: 

输出共一行,一个整数代表答案。

样例输入:

4 1 1

4 5 6 49

样例输出:

18

思路: 

贪心

        先声明一下:贪心做法是我在赛时的写法,同时也是蓝桥官方直播时给出的做法,但在4月13日 13:08被群友以 2 1 1 48 49的测试用例hack了,所以本题解提供的属于是错误思路(博主太菜了,想不出正解,见谅),诸君图一乐即可,若有所思所启,荣幸之至,绝无误人子弟之意。

        较片面地看来,我们只需每次对当前最高的山使用魔法使其变矮,使用完所有魔法得到的便是最优结果,而在使用魔法时,要优先使用能使当前最高山变得更矮的魔法,故使用大根堆来存储所有山的高度,每次弹出堆顶,对其进行操作(若有两种魔法,则二选其优,否则有哪个用哪个),最后将所有的山高度求和即可,时间复杂度O(nlogn)。

 代码实现:

  1. #include <iostream>
  2. #include <queue>
  3. #include <cmath>
  4. using namespace std;
  5. int n, x, y;
  6. priority_queue<int> q;
  7. long long a, b, ans;
  8. int main()
  9. {
  10. scanf("%d %d %d",&n, &x, &y);
  11. for(int i = 1; i <= n; i ++)
  12. {
  13. scanf("%lld",&a);
  14. q.push(a);
  15. }
  16. while(x || y)
  17. {
  18. long long t = q.top();
  19. q.pop();
  20. a = t / 2, b = sqrt(t);
  21. if(x && y)
  22. {
  23. if(a < b)
  24. {
  25. y --;
  26. q.push(a);
  27. }
  28. else
  29. {
  30. x --;
  31. q.push(b);
  32. }
  33. }
  34. else if(x)
  35. {
  36. x --;
  37. q.push(b);
  38. }
  39. else
  40. {
  41. y --;
  42. q.push(a);
  43. }
  44. }
  45. while(!q.empty())
  46. {
  47. ans += q.top();
  48. q.pop();
  49. }
  50. printf("%lld", ans);
  51. }

 

H.拔河

编程题

        小明是学校里的一名老师,他带的班级共有 n 名同学,第 i 名同学力量值为 ai。在闲暇之余,小明决定在班级里组织一场拔河比赛。

        为了保证比赛的双方实力尽可能相近,需要在这 n 名同学中挑选出两个队伍,队伍内的同学编号连续:{ al1, al1+1, ..., ar1−1, ar1 } 和 { al2, al2+1, ..., ar2−1, ar2 },其中 l1 ≤ r1 < l2 ≤ r2。

        两个队伍的人数不必相同,但是需要让队伍内的同学们的力量值之和尽可能相近。请计算出力量值之和差距最小的挑选队伍的方式。

输入格式: 

输入共两行。

第一行为一个正整数 n。

第二行为 n 个正整数 ai。

输出格式: 

输出共一行,一个非负整数,表示两个队伍力量值之和的最小差距。

样例输入:

5
10 9 8 12 14

 样例输出: 

 思路:

枚举 + 二分 感谢学长 @福建易烊万玺 的顶级理解思路,让本蒟蒻在有生之年还能将这道题写出来

        因为两支队伍均要求连续,我们可以将用前缀和预处理以缩短求连续区间和的时间。事先将所有可能的区间存入multiset容器中,枚举 l1 和 r1,在每一个 r1 被枚举到时,将multiset容器中所有以当前 r1 为左端点的区间全部删掉,则容器中剩余的区间即为所有可能的第二队的区间,随后枚举 l1 ,用multiset内置的二分函数lower_bound去找到第一个大于等于 当前枚举区间力量值的值,令其与当前枚举区间力量值相减,得到的结果与当前答案比较取较小值,再取容器中最大的不大于前枚举区间力量值的值,相减后与当前答案取最小值,枚举结束即可得到最小可能差值。(由于本人较菜,描述可能有些难以消化,建议结合代码理解,若还是理解不了,请移步参考文章

 代码实现:

  1. #include <iostream>
  2. #include <set>
  3. #include <algorithm>
  4. using namespace std;
  5. const int N = 1010;
  6. int n;
  7. long long ans = 1e9, q[N];
  8. multiset<long long> s;
  9. int main()
  10. {
  11. scanf("%d",&n);
  12. for(int i = 1; i <= n; i ++)
  13. {
  14. scanf("%lld",&q[i]);
  15. q[i] += q[i - 1];
  16. }
  17. for(int i = 1; i <= n; i ++)
  18. {
  19. for(int j = i; j <= n; j ++)
  20. {
  21. s.insert(q[j] - q[i - 1]);
  22. }
  23. }
  24. int res;
  25. for(int r1 = 1; r1 <= n; r1 ++)
  26. {
  27. for(int r2 = r1; r2 <= n; r2 ++)
  28. {
  29. auto k = s.find(q[r2] - q[r1 - 1]);
  30. s.erase(k);
  31. }
  32. for(int l1 = 1; l1 <= r1; l1 ++)
  33. {
  34. auto k = s.lower_bound(q[r1] - q[l1 - 1]);
  35. if(k != s.end())
  36. {
  37. ans = min(ans, abs(*k - q[r1] + q[l1 - 1]));
  38. }
  39. if(k != s.begin())
  40. {
  41. k --;
  42. ans = min(ans, abs(*k - q[r1] + q[l1 - 1]));
  43. }
  44. }
  45. }
  46. printf("%lld", ans);
  47. return 0;
  48. }

 

 

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