数据结构_时间复杂度

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什么是时间复杂度？

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

如何计算时间复杂度？

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

void func1(int n)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = 0; j < n; j++)
		{
			count++;
		}
	}
 
	for (int k = 0; k < 2*n; k++)
	{
		count++;
	}
 
	int x = 10;
	while (x--)
	{
		count++;
	}
	printf("%d\n",count);
}

在func1中count++执行了多少次？

答：F（n）= n^2 + 2*n +10

 在上面的问题中:

我们发现，当n越来越大，对最终结果最具有影响的项为：N^2（最高阶项）

有的同学会问：那如果n等于一个很小的数呢？（比如1，2，3……）

答：随着计算机的发展，由于计算机速度很快，当n很小的时候计算时间还不到1ms，可以忽略不计了。

 我们看下面的结果：（时间单位都为ms）

 所以我们在计算时间复杂读度的时候，只保留对结果影响最大的一项。

具体计算方法看下面的大O渐近表示法。

 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O（n）

 通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

计算冒泡排序的时间复杂度

void BubbleSort(int* a, int n)
{
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end)
    {
        int exchange = 0;
        for (size_t i = 1; i < end; ++i)
        {
            if (a[i-1] > a[i])
            {
                Swap(&a[i-1], &a[i]);//两数交换
                exchange = 1;
            }
        }    
        if (exchange == 0)
        break;
    }
}

基本操作执行最好情况N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最
坏，时间复杂度为 O(N^2）

注意：最坏情况展开是：(n^2)/2 + n/2 我们选最高次项(n^2)/2，这里前面的因数1/2直接舍去（对结果影响不大）

计算二分查找的时间复杂度 

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
    assert(a);
    int begin = 0;
    int end = n-1;
    // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
    while (begin <= end)
    {
        int mid = begin + ((end-begin)>>1);
        if (a[mid] < x)
            begin = mid+1;
        else if (a[mid] > x)
            end = mid-1;
        else
            return mid;
    }
    return -1;
}

基本操作执行最好1次（中间数即为要查找的数），最坏O(logN)次（直到最后一次查找才查找出来），时间复杂度为 O(logN)。(logN在算法分析中表示是底数为2)

为什么最坏是log(n)次?

答：假设最坏查找x次，一共N个数，每次查找都要除去1/2的数，最后仅剩一个数，就有N((1/2)^x )= 1。化简取对数得x = log(N).

计算阶乘递归Fac的时间复杂度

long long Fac(size_t N)
{
    if(0 == N)
        return 1;
    return Fac(N-1)*N;
}

 基本操作递归执行了N次（每一次调用函数都需要前一个函数的基础，直到调用到fac(1)停止），时间复杂度为O(N)

计算斐波那契递归Fib的时间复杂度

long long Fib(size_t N)
{
    if(N < 3)
        return 1;
    return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

基本操作递归执行了2^N次（每一次调用都需要前面两个函数的值为基础，类似于杨辉三角）时间复杂度为O(2^N)

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