数据结构之二叉树_数据结构二叉树

一、树

1、基本概念：树就是一种类似现实生活中的树的数据结构（倒置的树）。任何一颗非空树只有一个根节点。

2、一棵树具有以下特点：

1. 一棵树中的任意两个结点有且仅有唯一的一条路径连通。
2. 一棵树如果有 n 个结点，那么它一定恰好有 n-1 条边。
3. 一棵树不包含回路。

3、树的形状如下图所示：

 4、区别：

        层数：从根节点开始算，为第一层。

        高度：从最下面的叶子节点开始算，且从0开始计数。

        深度：从根节点开始算，从0开始计数。

树的基本名词解释：

• 节点 ：树中的每个元素都可以统称为节点。
• 根节点 ：顶层节点或者说没有父节点的节点。上图中 A 节点就是根节点。
• 父节点 ：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点。上图中的 B 节点是 D 节点、E 节点的父节点。
• 子节点 ：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点。上图中 D 节点、E 节点是 B 节点的子节点。
• 兄弟节点 ：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点。上图中 D 节点、E 节点的共同父节点是 B 节点，故 D 和 E 为兄弟节点。
• 叶子节点 ：没有子节点的节点。上图中的 D、F、H、I 都是叶子节点。
• 节点的高度 ：该节点到叶子节点的最长路径所包含的边数。
• 节点的深度 ：根节点到该节点的路径所包含的边数
• 节点的层数 ：节点的深度+1。
• 树的高度 ：根节点的高度。

二、二叉树

1、基本概念：

二叉树（Binary tree）是每个节点最多只有两个分支（即不存在分支度大于 2 的节点）的树结构。

二叉树 的分支通常被称作“左子树”或“右子树”。并且，二叉树 的分支具有左右次序，不能随意颠倒。

二叉树 的第 i 层至多拥有 2^(i-1) 个节点，深度为 k 的二叉树至多总共有 2^(k+1)-1 个节点（满二叉树的情况），至少有 2^(k) 个节点

2、二叉树的分类

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是 满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为 K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是 满二叉树。如下图所示：

2.1、完全二叉树

除最后一层外，若其余层都是满的，并且最后一层或者是满的，或者是在右边缺少连续若干节点，则这个二叉树就是 完全二叉树 。

大家可以想象为一棵树从根结点开始扩展，扩展完左子节点才能开始扩展右子节点，每扩展完一层，才能继续扩展下一层。如下图所示：

细心的小伙伴可能发现了，当根节点的值为 1 的情况下，若父结点的序号是 i，那么左子节点的序号就是 2i，右子节点的序号是 2i+1。这个性质使得完全二叉树利用数组存储时可以极大地节省空间，以及利用序号找到某个节点的父结点和子节点，后续二叉树的存储会详细介绍。

2.2、平衡二叉树

平衡二叉树 是一棵二叉排序树，且具有以下性质：

1. 可以是一棵空树
2. 如果不是空树，它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

平衡二叉树的常用实现方法有 红黑树、AVL 树、替罪羊树、加权平衡树、伸展树 等。

在给大家展示平衡二叉树之前，先给大家看一棵树：

 这是一颗在极端情况下，退化为链表的树，叫斜树。

但是，如果二叉树退化为一个链表了，那么那么树所具有的优秀性质就难以表现出来，效率也会大打折，为了避免这样的情况，我们希望每个做 “家长”（父结点） 的，都 一碗水端平，分给左儿子和分给右儿子的尽可能一样多，相差最多不超过一层，如下图所示：

3、二叉树的存储

二叉树的存储主要分为 链式存储 和 顺序存储 两种：

3.1、链式存储

和链表类似，二叉树的链式存储依靠指针将各个节点串联起来，不需要连续的存储空间。

每个节点包括三个属性：

• 数据 data。data 不一定是单一的数据，根据不同情况，可以是多个具有不同类型的数据。
• 左节点指针 left
• 右节点指针 right

class TreeNode {
    int val;
 
    TreeNode left;
 
    TreeNode right;
 
     TreeNode() {
    }
 
     TreeNode(int val) {
        this.val = val;
    }
 
     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
        this.val = val;
        this.left = left;
        this.right = right;
    }
}

​

 3.2、顺序存储

顺序存储就是利用数组进行存储，数组中的每一个位置仅存储节点的 data，不存储左右子节点的指针，子节点的索引通过数组下标完成。根结点的序号为 1，对于每个节点 Node，假设它存储在数组中下标为 i 的位置，那么它的左子节点就存储在 2i 的位置，它的右子节点存储在下标为 2i+1 的位置。

一棵完全二叉树的数组顺序存储如下图所示：

​

 完全二叉树和普通二叉树存储的区别

​

如果我们要存储的二叉树不是完全二叉树，在数组中就会出现空隙，导致内存利用率降低

4、二叉树的遍历

二叉树通常有两种访问方式，DFS和BFS。其中DFS又分为前序、中序、后序三种方式。

4.1、深度优先搜索（DFS）

        因为二叉树的特性，所有的子树都为二叉树。所以遍历二叉树，可以用递归的方式实现。把每次遍历都简化为求解子问题。遍历子树来解决。

1、前序（先序）遍历

口诀：根左右

前序遍历首先访问根结点然后遍历左子树，最后遍历右子树。在遍历左、右子树时，仍然先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。

​

 步骤：

        若二叉树为空则结束返回，否则：

                        （1）访问根结点。

                        （2）前序遍历左子树。

                        （3）前序遍历右子树 。

代码：

public void preOrder(TreeNode root){
	if(root == null){
		return;
	}
	system.out.println(root.data);
	preOrder(root.left);
	preOrder(root.right);
}

2、中序遍历

口诀：左右根

​

 二叉树的中序遍历，就是先递归中序遍历左子树，再输出根结点的值，再递归中序遍历右子树

 步骤：

        若二叉树为空则结束返回，否则：     

                        （1）中序遍历左子树。

                        （2）访问根结点。

                        （3）中序遍历右子树 。

代码：

public void inOrder(TreeNode root){
	if(root == null){
		return;
	}
	inOrder(root.left);
	system.out.println(root.data);
	inOrder(root.right);
}

3、后序遍历

口诀：左右根

二叉树的后序遍历，就是先递归后序遍历左子树，再递归后序遍历右子树，最后输出根结点的值

 步骤：

        若二叉树为空则结束返回，否则：     

                        （1）后序遍历左子树。  

                        （2）后序遍历右子树 。

                        （3）访问根结点。

代码：

public void postOrder(TreeNode root){
	if(root == null){
		return;
	}
	postOrder(root.left);
	postOrder(root.right);
	system.out.println(root.data);
}

4.2、广度优先搜索（BFS）

层次遍历：二叉树的层次遍历 ，顾名思义就是指从二叉树的第一层（根节点）开始，从上至下逐层遍历，在同一层中，则按照从左到右的顺序对节点逐个访问。在逐层遍历过程中，按从顶层到底层的次序访问树中元素，在同一层中，从左到右进行访问。

算法思想：（BFS）广度优先搜索

用一个队列保存被访问的当前节点的左右孩子以实现层序遍历。

在进行层次遍历的时候，设置一个队列结构，遍历从二叉树的根节点开始，首先将根节点指针入队列，然后从队头取出一个元素，每取一个元素，执行下面两个操作：

1、访问该元素所指向的节点

2、若该元素所指节点的左右孩子节点非空，则将该元素所指节点的左孩子指针和右孩子指针顺序入队。此过程不断进行，当队列为空时，二叉树的层次遍历结束。

知识点：队列

队列是一种仅支持在表尾进行插入操作、在表头进行删除操作的线性表，插入端称为队尾，删除端称为队首，因整体类似排队的队伍而得名。它满足先进先出的性质，元素入队即将新元素加在队列的尾，元素出队即将队首元素取出，它后一个作为新的队首。

思路：

二叉树的层次遍历就是按照从上到下每行，然后每行中从左到右依次遍历，得到的二叉树的元素值。对于层次遍历，我们通常会使用队列来辅助：

因为队列是一种先进先出的数据结构，我们依照它的性质，如果从左到右访问完一行节点，并在访问的时候依次把它们的子节点加入队列，那么它们的子节点也是从左到右的次序，且排在本行节点的后面，因此队列中出现的顺序正好也是从左到右，正好符合层次遍历的特点。

具体做法：

• step 1：首先判断二叉树是否为空，空树没有遍历结果。
• step 2：建立辅助队列，根节点首先进入队列。不管层次怎么访问，根节点一定是第一个，那它肯定排在队伍的最前面。
• step 3：每次进入一层，统计队列中元素的个数。因为每当访问完一层，下一层作为这一层的子节点，一定都加入队列，而再下一层还没有加入，因此此时队列中的元素个数就是这一层的元素个数。
• step 4：每次遍历这一层这么多的节点数，将其依次从队列中弹出，然后加入这一行的一维数组中，如果它们有子节点，依次加入队列排队等待访问。
• step 5：访问完这一层的元素后，将这个一维数组加入二维数组中，再访问下一层。

代码：

import java.util.*;
public class Solution {
    public ArrayList<ArrayList<Integer>> levelOrder (TreeNode root) {
        ArrayList<ArrayList<Integer> > res = new ArrayList();
        if(root == null)
            //如果是空，则直接返回空数组 fast-template
            return res;
        //队列存储，进行层次遍历
        Queue<TreeNode> q = new ArrayDeque<TreeNode>();
        q.add(root);
        while(!q.isEmpty()){
            //记录二叉树的某一行
            ArrayList<Integer> row = new ArrayList();
            int n = q.size();
            //因先进入的是根节点，故每层结点多少，队列大小就是多少
            for(int i = 0; i < n; i++){
                TreeNode cur = q.poll();
                row.add(cur.val);
                //若是左右孩子存在，则存入左右孩子作为下一个层次
                if(cur.left != null)
                    q.add(cur.left);
                if(cur.right != null)
                    q.add(cur.right);
            }
            //每一层加入输出
            res.add(row);
        }
        return res;}
}

5、总结

        二叉树是十分重要的数据结构，我们需要掌握二叉树的四种遍历方式。本文中，针对深度优先搜索的遍历：1、前序遍历。2、中序遍历。3、后序遍历。均是采用递归的方式进行操作。然而，这三种方式同样还可以通过栈的特点，已非递归的方式进行遍历。这也是我们需要重点掌握的。层次遍历则是利用队列先进先出的特点，每遍历一层后，进入队列的元素个数就是该层元素个数。