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生成模型笔记——VAE_vae csdn

作者：我家自动化 | 2024-05-04 05:03:43

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vae csdn

摘要

生成模型中像VAE和GAN，它们的本质目标其实是差不多的，都是希望能够建立一个从隐变量Z生成目标数据X的有效的模型。换句话说，假设存在一些常见的分布Z(如正态分布或者是均匀分布)，然后希望训练出模型 $\hat{X}=g(Z)$ 使得这个模型他可以将原来的概率分布映射到训练集(如图片)的概率分布；核心思想就是一个概率分布之间的变换。(可查看生成模型笔记预备知识笔记——概率分布变换_不认输的韦迪的博客-CSDN博客)

(这里移用一下知乎的图)图中的大致意思就是从一个正态分布中采样得到 $Z_{1},Z_{2},...,Z_{6}$ 经过一个生成器之后变成 $\hat{X}_{1},\hat{X}_{2},...,\hat{X}_{6},$ 然后判断这个生成的东西和原来的样本是不是一一相近的。

从这里我们可以看到生成模型的一个比较难处理的问题，就是需要判断从一个正态分布(以流程图为例)采样得到的 $Z_{1},Z_{2},...,Z_{6}$ ，经过生成器后(也就是g(z)函数映射)得到的 $\hat{X}_{1},\hat{X}_{2},...,\hat{X}_{6},$ 他是什么分布，训练集 $X_{1},X_{2},...,X_{6}$ 又是什么分布，就更别提怎么比较这两个是否相等了。总之，这个模型方向是对的，但是就是感觉有点不那么有效。

VAE的初想法

首先还是老问题，我们现在有一批数据样本( $X_{1},X_{2},...,X_{N}$ )我们希望可以在这几个样本熵得到整体X的分布p(x),如果可以做到这个的话，那么我们可以直接根据p(x)来采样得到包括 $X_{1},X_{2},...,X_{N}$ 在内的所有样本。用李宏毅老师的课件来说就是如下图所示，给出几个现有小精灵的样本去推出精灵的分布，然后就能知道所有精灵的样本。这个是一个十分理想的模型。

当然这个理想的模型还是比较难以实现的，但是我们可以对这个进行稍加改造得到：

很明显这个描述了一个由Z来生成X的模型，这里的Z可以是任意的分布，从这个分布Z中我们采样得到一个 $z_{k}$ ,并根据这个 $z_{k}$ 来算出一个 $\hat{x}_{k}$ ,那么也能达到我们的目标。示意图如下：

此时我们假设这个Z服从正态分布。

VAE模型

在上面的流程图中,所有的 $z_{k}$ 都从一个正态分布Z中进行采样，但在VAE模型中我们并没有假设p(Z)是一个正态分布，反而是假设p(Z|X)是一个正态分布；更深入地，我们会给每一个真实样本 $X_{k}$ 分配一个专属的正态分布 $p(Z|X_{k})$ ，而不像上图那样每一个 $z_{k}$ 都从一个正态分布中进行采样；当然我们会假设这个专属的正态分布 $p(Z|X_{k})$ 是（独立的、多元的）。

这样做的好处是什么呢？，由于我们后续会训练一个生成器 $\hat{X}=g(Z)$ ,希望可以把这个从分布 $p(Z|X_{k})$ 中采样出来的一个 $Z_{k}$ 还原为 $X_{k}$ ;而前期的准备中我们就给了每一个 $X_{k}$ 分配了专属的 $p(Z|X_{k})$ ,所以我们有理由说从这个分布中采样出来的 $Z_{k}$ 应该要还原会对应的 $X_{k}$ 中；这个想法可以将上面流程图中遗留的一个很大问题解决，那就是由 $Z_{k}$ 生成的 $\hat{X}_{k}$ 是不是对应着原来的 $X_{k}$ 。

这里格外地提醒一下，我们是假设 $p(Z|X_{k})$ 是服从正态分布的，而非p(Z),虽然在后面的公式推导中可以得出p(Z)也是服从正态分布的，但是在这里需要注意一下。(这也是参考的文章中一个很棒的点)

那好，问题转移到如何为每一个样本 $X_{k}$ 分配一个专属的正态分布 $p(Z|X_{k})$ ；咱们知道正态分布有两个参数——均值 $\mu$ 和方差 $\sigma ^{2}$ 。如果直接找出这两个值是比较困难的，所以在VAE中选择退而求其次采用神经网络进行对两个值的拟合。通过构建两个神经网络

选择拟合 $log\sigma ^{2}$ 而不是 $\sigma^{2}$ 的原因是因为后者是非负的，是需要添加激活函数的，而前者不需要，因为它可正可负。

大致的流程如下图所示：

简单来说，给定一个样本 $X_{k}$ ,中间计算均值和方差的神经网络会给出这个样本对应的正态分布 $N(\mu_{k}, \sigma^{2}_{k})$ ，然后我们可以在这个正态分布中去采样，从而得到一个 $Z_{k}$ ，这个采样得到的 $Z_{k}$ 在经过生成器这个神经网络就能重新转变为一个与原始样本 $X_{k}$ 接近的生成样本 $\hat{X}_{k}$ .

这样的想法是非常不错的，但是还是存在一点小瑕疵；首先是以正态分布中采样出来的 $Z_{k}$ 它是存在偏差的(毕竟是采样，会受到方差的影响)，从而导致重构出来的 $\hat{X}_{k}$ 不一定和原来的 $X_{k}$ 完全一样。其次无论是第一个神经网络还是第二个神经网络，他们的训练都是依据梯度的，但是采样这个过程就打断了梯度，所以网络还是无法work。上述的流程只是在两个神经网络训练好的理想情况下的流程。

先解决第一个问题。我们知道采样得到的 $Z_{k}$ 是存在偏差的，而这个偏差是与方差有关的，方差越大每次采样的结果之间也越不接近。一个很简单的想法就是干脆将方差变成0，从正态分布概率密度函数图像上看就是将原先的“小山丘”挤压成一根竖着的“杆子”，这样每次采样只会采到一个固定的值，也就是均值。这样VAE就退化成普通的AutoEncoder了，也就是将高维转成低维再转成高维。而VAE为了保证模型具有生成性(就是可以生成与样本不一样的其他没见过的产出)，让所有的p(Z|X)都往着标准正态分布N(0,1)上靠，这样做的好处是什么呢？如果所有的p(Z|X)都是标准正态分布，那么就有：

这样的话，采样得到的 $Z_{k}$ 也是服从标准正态分布的，这样我们就能直接从标准正态分布中直接采样来生成图像了,这就有点像第三张图片中的流程。

对于第二个问题，我们知道每一个 $p(Z|X_{k}))$ 都是正态分布 $N(\mu, \sigma^{2})$ ,此时我们还没说这个正态分布是标准正态分布，上一段的是模型训练过程中我们希望让这些 $p(Z|X_{k}))$ 逐渐接近标准正态分布，相关的训练流程和Loss可以参见原篇。回到这个问题，每一个 $Z_{k}$ 都是从对应的 $p(Z|X_{k}))$ 经过采样得到的，要知道采样的过程它并不可导，因此需要对这个过程进行一个小技巧的实施：

通过这个重参数技巧，我们将从 $N(\mu, \sigma^{2})$ 采样转变成从 $N(0,1)$ 。中采样了。如何理解直接采样没有梯度而重参数之后就又有梯度呢？其实可以这么想，假如我一开始在 $N(\mu, \sigma^{2})$ 中采样得到5，但是我完全不知道这个5与 $\mu, \sigma$ 之间的关系，在进一步的说， $\mu, \sigma$ 是由神经网络产出的，神经网络中的参数 $\Theta$ 决定了 $\mu, \sigma$ 也就是说我更加不知道这个5和 $\Theta$ 之间的关系。但是如果我先从 $N(0,1)$ 中采样比方得到0.2那么我计算 $Z=0.2*\sigma+\mu$ ，这样我就能知道Z与 $\mu, \sigma$ ，进一步知道Z与 $\Theta$ 之间的关系了。

结尾

VAE是很重要的一个知识点，但限于我的能力，可能文中存在一些理解偏差，望大佬指出斧正；大家也可以移步变分自编码器VAE：原来是这么一回事 | 附开源代码 - 知乎

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