动态规划算法解决背包问题_可以用动态规划解决背包问题吗

什么是动态规划算法

1)动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法

2)动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

3)与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 (即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )

4)动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

动态规划算法最佳实践-背包问题

背包问题分为01背包问题和完全背包问题，因为完全背包问题可以转化为01背包问题，所以我们在这就举一个01背包问题，

如题:
背包问题：有一个背包，容量为 4 磅，现有如下物品

1)要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2)要求装入的物品不能重复

背包问题的思路及解决方案

看到题目后，这里我们需要画一张表格，行表示从背包的最大重量(从零到最大重量)，列表示每一个商品，行和列的交叉点表示当前重量下装入物品的最大价值，（行和列都要从零开始）如图

在背包最大重量为0时，显然所有物品都装不下，所以价值自然为0.所以0磅这一列全填为0，在没有物品的时候，无论你背包最大重量为多少时，他也没有价值，也填为0.

好，接下来我们只需要按照表格填空就行了，特别提示，没有出现过的物品是不能填入当前行的，比如第二行吉他这一行中，当背包重量为4磅的时候我们仍然只能装一把吉他，因为音响和电脑还没有出现，也就是说你能选的物品只能是当前行和当前行以前的物品。如果有新的物品可以装进背包则需要和上一行的价格比较，若新物品总价值较高则将其填入，否则仍保持上一行的价格

所有填好之后结果如下图

此时，咱们在看题目要求，显然当背包为4磅时，能装入的物品最大价值是3500元。下面我们来整理我们的思路和公式

公式如下

如果光摆着这个公式，肯定没有人能看懂，下面我来讲解下这个公式

首先v[ ][ ]这个二维数组就表示我们的这张表，v[ ]表示物品个数，v[][]表示该物品和前面的物品组合后的最高价值

其次我们设一个数组w[ ]，w数组是用来存放每一件物品的重量，比如此题w数组里面就应该为w[ ]={1,4,3}

好了，我们来说公式，首先第一步就是将第一行和第一列置为0，我想大家都能看懂我就不说了，

第二个公式首先你得明白w[i]代表的是当前物品的重量，这个j在后面代码中其实就是代表背包的重量(背包重量从0变到4，后面代码中j就从0循环到4)，也就是说这个公式的意思是，如果当前物品的重量大于你背包的重量，则当前行列的最大价值就是上一行该列的价值。其实很容易就能想明白，新的物品背包装不下当然只能用上一个物品的价值。

第三个公式就有点难理解了，意思是当前物品的重量小于等于你的背包重量，也就是说，当前物品其实你的背包可以试着去装一装。则应该填入上一行的价值与装入新物品后的价值和剩余空间可以装的最大价值做相比，可能话有点绕，咱们举例说明比如在背包为4磅，当前物品为电脑时，电脑的重量小于背包的重量所以咱们执行第三条公式，也就是背包重量为4，物品为音响时的价值3000与现在咱们背包装入当前物品——电脑，和装入后剩余空间可以装的最大价值的和相比，也就是3000与2000（电脑）+1500（吉他）相比，选最大值填入，可能有人问，为什么时吉他，因为背包4磅，装入电脑后只剩1磅，所以就找1磅里的最高价格。

代码实现

好了，思路说完，咱们直接上代码，为了能更直观的看出，最高价值是我们放了哪些商品，我们再次做了个小优化

package dynamic;

public class KnapsackProblem {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int[] w = {1, 4, 3};//物品的重量
		int[] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的价值 这里val[i] 就是前面讲的v[i]
		int m = 4; //背包的容量
		int n = val.length; //物品的个数
		
				
		//创建二维数组，
		//v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
		int[][] v = new int[n+1][m+1];
		//为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
		int[][] path = new int[n+1][m+1];
		
		//初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0
		for(int i = 0; i < v.length; i++) {
			v[i][0] = 0; //将第一列设置为0
		}
		for(int i=0; i < v[0].length; i++) {
			v[0][i] = 0; //将第一行设置0
		}
		
		
		//根据前面得到公式来动态规划处理
		for(int i = 1; i < v.length; i++) { //不处理第一行 i是从1开始的
			for(int j=1; j < v[0].length; j++) {//不处理第一列, j是从1开始的
				//公式
				if(w[i-1]> j) { // 因为我们程序i 是从1开始的，因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1]
					v[i][j]=v[i-1][j];
				} else {
					//说明:
					//因为我们的i 从1开始的， 因此公式需要调整成
					//v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
					//v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
					//为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用if-else来体现公式
					if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
						v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
						//把当前的情况记录到path
						path[i][j] = 1;
					} else {
						v[i][j] = v[i - 1][j];
					}
					
				}
			}
		}
		
		//输出一下v 看看目前的情况
		for(int i =0; i < v.length;i++) {
			for(int j = 0; j < v[i].length;j++) {
				System.out.print(v[i][j] + " ");
			}
			System.out.println();
		}
		
		System.out.println("============================");		
		//动脑筋
		int i = path.length - 1; //行的最大下标
		int j = path[0].length - 1;  //列的最大下标
		while(i > 0 && j > 0 ) { //从path的最后开始找
			if(path[i][j] == 1) {
				System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i); 
				j -= w[i-1]; //w[i-1]
			}
			i--;
		}
		
	}

}

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