2019美国大学生数学建模竞赛B题分析_2019美赛b

题目B：派遣无人机： 开发空难救援响应系统

背景：

        2017年，美国范围有史以来最强的飓风袭击了波多黎各（附件1），造成了严重的破坏，且超过2900人遇难。风暴和巨浪结合的破坏性能量对建筑和道路造成了大量的伤害，特别是沿波多黎各的东岸到东南岸。狂风暴雨击倒了波多黎各80%的电线杆和全部的输电线路。造成了岛上340万居民全部断电。另外，风暴摧毁了大部分岛上的移动通信网络。在岛上的大部分地区，电力和电话服务中断了数月，有的地区甚至更久。大面积的洪水阻塞和破坏了岛上的许多高速公路和公路，使得地面紧急救援车辆几乎不可能规划和导航它们的路线。波多黎各所受损害的全部程度在一段时间内仍不清楚；数十个地区被隔离，没有通讯。对医疗用品、救生设备和治疗的需求使医疗诊所、医院急救室和非政府组织的救援行动捉襟见肘。在一段时间内，由于慢性病患者转向医院和临时避难所接受治疗，对医疗服务的需求继续激增。 

问题： 

        非政府组织（NGO）经常面临在自然灾害期间或之后提供充分和及时反应的挑战，例如2017年袭击美国领土波多黎各的飓风。特别是一个NGO——Help, INC——正在试图通过设计一个名为DroneGo的可运输灾难响应系统来提高它的响应能力。DrongGo将使用水平旋翼无人机递送包装好的药物并提供高清航拍侦查。挑选出来的无人机应该能根据救援需求和时间安排同时或分别完成这两个任务。HELP, Inc.已经确认了不同的候选无人机名单，在你的队伍来考虑DroneGO编队时可能使用。（附件2，3）

        DroneGo预先包装的医疗用品称为medical packages，旨在增加而不是取代受灾国家境内当地医疗援助组织提供的用品。HELP, Inc.计划使用三种不同的医药包，分别称作MED1，MED2和MED3。无人机将在无人机货舱内携带这些医疗包，运送到指定地点（见附件4、5）。根据用于运输医疗用品的具体无人机，可以在一个无人机货舱内运输多个医疗包。请注意，无人机必须降落在地面上，以便从无人机货舱卸下医疗用品。无人机的摄像头将提供损坏及可用道路的高分辨率视频给HELP, Inc.的指挥控制中心用以规划运输路线。

        HELP, Inc.将使用ISO标准干货箱来快速运输一套完整的DroneGo灾难响应系统到特定的受灾地区，无人机编队中所有无人机的单独运输集装箱，以及所有需要的集装箱、医疗包裹，必须符合国际标准化组织(ISO)规定的最多三个货运集装箱的要求，以便运送到单一地点;如果在灾区使用了三个货运集装箱，则必须符合最多三个不同地点的要求。每个集装箱应尽量装满以减少对未使用空间缓冲材料的需求。表1显示了ISO标准干货箱的尺寸

 

        HELP, Inc.希望你的团队在2017年波多黎各的情况下设计一个DroneGo灾难响应系统，在未来可能发生类似灾难的情况下，符合预期的医疗需求。这个场景的需求可能超过您的团队确定的无人机舰队的能力。如果出现这种情况，HELP, Inc.希望清楚地了解为实现解决方案以解决这些缺点而必须做出的任何权衡。 

Part 1. 开发一个DroneGo灾难响应系统以支持波多黎各飓风灾难。

        请考虑背景信息、问题声明中确定的需求以及问题附件中提供的信息，以解决以下问题。

        A. 为HELP, Inc.推荐一个无人机编队和一套医疗包，能够满足波多黎各飓风灾难需求的DrongGo灾难响应系统。为最多三个ISO货物集装箱设计相关的包装配置，以便将系统运往波多黎各。

        B. 确定波多黎各的最佳地点放置DroneGo灾难响应系统的一个、两个或三个货柜，以便能够对道路网络进行医疗供应交付和视频侦察。

        C. 对于无人机编队中的每种型号：

                a. 提供无人机有效载荷包装配置(即包装到无人机货舱的医疗包裹)、送货路线和时间表，以满足波多黎各飓风场景中确定的紧急医疗包裹要求。

                b. 提供无人机飞行计划，使无人机编队能够使用机载摄像机评估主要公路和公路，以支持帮HELP, Inc.的任务。

Part 2. 概要

        撰写一份1-2页的概要发送给HELP, Inc.的CEO，总结你的模型结果、结论以及可以让她在董事会上分享的推荐方案。

 

• 解题思路 

一.分析问题

        问题1：最佳装载ISO 容器。使用无人机、医疗包装和ISO 容器的指定尺寸，确定ISO容器的负载。目标不仅是节省空间，而且要易于装卸。

        问题2：确定ISO 集装箱的数量和位置，以最大程度地减少交货时间并最大程度地进行道路侦察。为此，需要考虑五家医院的位置以及每种无人机的性能。每个ISO 容器的具体装载方案，要考虑不同医院所需的医疗包装的类型和数量。

        问题3：确定无人机交付的路线和时间表。然后找到无人驾驶飞机监视道路，确定所有可以检查的道路并计算其总长度的最佳方法。

二.思路 

（一）问题1： 可以抽象成一个三维加载模型

         将尽可能多的无人机和紧急医疗包裹装载到货物集装箱中是一个典型的三维包装问题和组合优化问题。我们采用3D-RSO算法求解，该算法是一种启发式的残差空间优化算法。关键部分包括两方面，一是空间分割方式，二是放置位置选择。

        对于分割方式，我们在每一次的空间分割中，都选择能够产生具有较大体积子空间的分割方式，然后通过编程表示该分割规则。伪代码如下：

When 一个箱子被放入到空间中
	计算S3* 的面积为Area(S3*) ，S2*的面积为Area(S2*)
	If Area(S3*) ≥ Area(S2*)
		纵向分割以形成子空间S1* 、S2* 和S3*
	Else
		横向分割以形成子空间S1 、S2 和S3
	End
End

 

        对于放置位置的选择，基于剩余空间最优化的基本求解策略，优先匹配箱子底面积和放置空间底面积最接近的箱子，这是因为一方面将较大的可放置子空间空出，以便于增加后续箱子的放置概率，另一方面也有利于减少箱子放置后所产生的可能浪费剩余空间。然后通过编程表示该位置放置规则。表示如下： 

f (bi ,Sj) = -(l(Sj) - l(bi) + α)∙(w(Sj) - w(bi) + α)

        其中，l(Sj) 、w(Sj) 分别表示放置空间的长和宽，l(bi) 和w(bi) 表示箱子放入时底面积的长和宽，α 是被赋值为0.1 的修正参数，f (bi ,Sj) 的值越大越好 

 

        综合以上分割规则和放置规则，可总结出完整的3D-RSO三维空间加载算法，首先将所有箱子按照其可能产生的最大底面积排序，进而逐个地对箱子进行择优放置。伪代码如下： 

3D-RSO算法
将所有箱子按照其可能产生的最大底面积降序排列，以此形成集合 BR
When BR 不为空集
	选择 BR 中的第一个箱子作为当前箱子，并计算其在所有可放置状态下的评价度 f (b1 ,Sj) ，形成集合 SF
	If SF 不为空
		以评价度最高的状态对当前箱子进行放置
		空间分割按照分割方法
		删除箱子 b1 在 BR 中
	Else
		删除箱子 b1 在 BR 中
	End
	更新 BR
	更新 SR
End

（二）问题2：用枚举法逐个分析确定货柜的数量

        1. 一个容器怎么样？波多黎各儿童医院和帕维亚·阿雷西博医院之间的距离为61 公里。B 型无人驾驶飞机是最长的单机无人驾驶飞机，但一次最多只能飞行53 公里。由于无人机必须返回，因此即使将容器放置在两家医院之间的中间位置，也无法运输医疗包。因此，用于波多黎各儿童医院和帕维亚·阿雷西博医院的药品运输无人机必须来自两个不同的货柜地点。

        2. 两个容器够了吗？波多黎各儿童医院是距离帕维亚·阿雷西博医院最近的医院。结果，对于两个货运集装箱，一个只能为帕维亚·阿雷西博医院提供药品，而另一个必须为其他四家医院提供药品。以这四家医院为顶点，构建一个四边形。遍历四边形中的每个坐标点，并计算每个点与四家医院之间的距离。但是，没有满足条件的点。换句话说，两个容器不能完成运输任务。

        3. 三个容器是最佳选择。因为必须从两个不同的位置为波多黎各儿童医院和帕维亚阿雷西博医院提供药品，所以应该在波多黎各儿童医院和帕维亚阿雷西博医院之间放置容器1 和2。HIMA 医院被科迪勒拉中央山脉和El Yunque 山脉所环绕，无人机无法穿越它们。因此，需要将3 号集装箱放在加勒比医疗中心和HIMA 医院之间的路上。其余的Pavia Santurce 医院由2 号集装箱提供服务。

（三）问题3：确定无人机的运输模型和侦察模型

        1.运输模型

                需要考虑无人机的装载空间容量、最大飞行距离、最长飞行时间以及时速等

        2.侦察模型

                需要计算无人机覆盖的侦察区域面积和监控区域内的道路总长度等

三.求解

        由于三个问题互相约束互相影响，在完成基本的模型建模后。

        首先从Googlemaps 上的波多黎各地图中提取道路信息，在满足约束条件下，遍历地图上的所有道路点，结合各个医院的资源需求和无人机的运输能力，通过计算得到三个货柜的最佳放置地点，解决第二问。

        其次，根据货柜的放置地点，结合各个医院的位置和资源需求以及无人机的运输能力，通过计算得到三个货柜中应该放置的无人机数量和医疗包数量。解决第一问。

        最后，根据前两问的结果，结合无人机编队的运输任务和侦察任务，通过计算得到具体的运输计划和侦察计划。解决第三问。