One PUNCH Man——LR逻辑回归_lr逻辑回归介绍

引言

LR算法可能不像随机森林、SVM、神经网络、GBDT等分类算法那么复杂那么高深的样子，可是绝对不能小看这个算法，因为它有几个优点是那几个算法无法达到的。
一是逻辑回归的算法已经比较成熟，预测较为准确；二是模型求出的系数易于理解，便于解释，不属于黑盒模型，尤其在银行业，80%的预测是使用逻辑回归；三是结果是概率值，可以做ranking model；四是训练快。
当然它也有缺点，分类较多的都不是很适用；对于自变量的多重共线性比较敏感，所以需要利用因子分析或聚类分析来选择代表性的自变量；另外预测结果呈现S型，两端概率变化小（在上一节也说过），中间概率变化大比较敏感，导致很多区间的变量的变化对目标概率的影响没有区分度，无法确定阈值。下面我先具体介绍下这个模型。

LR介绍

首先要搞清楚当你的目标变量是分类变量时，才会考虑逻辑回归，并且主要用于两分类问题。举例来说医生希望通过肿瘤的大小x1、长度x2、种类x3等等特征来判断病人的这个肿瘤是恶性肿瘤还是良性肿瘤，这时目标变量y就是分类变量（0良性肿瘤，1恶性肿瘤）。显然我们希望像保留像线性回归一样可以通过一些列x与y之间的线性关系来进行预测，但是此时由于Y是分类变量，它的取值只能是0,1,或者0,1,2等等，不可能是负无穷到正无穷，这个问题怎么解决呢?
对于二分类问题，此时引入了一个sigmoid函数，这个函数的性质，非常好的满足了，x的输入可以是负无穷到正无穷，而输出y总是[0,1]，并且当x=0时，y的值为0.5，以一种概率的形式表示. x=0的时候y=0.5 这是决策边界。当你要确定肿瘤是良性还是恶性时，其实我们是要找出能够分开这两类样本的边界，叫决策边界。

sigmoid函数：https://blog.csdn.net/No_Game_No_Life_/article/details/89511056

sigmoid函数：$f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$
对于一个给定的x，可以通过确定的函数计算得出函数值$f(x)$，如果$f(x)$=0.7，则说明，有70%的概率是恶性肿瘤。

不过上面的公式过于简单，因为决定性的因素$x_i$可能不止一个，每个因素的权重${\theta }_i$也不一定相同，可以把$x$和$\theta$理解成为参数向量。向量之间的乘积，我们用下面的公式表示：
$h_{\theta }(x)=g({\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+...)$
好了，原始的sigmoid函数就应该这样表示：
$f(x)=\frac{1}{1+e^{-h_{\theta }(x)}}$

与之前我们学习的线性回归（https://blog.csdn.net/No_Game_No_Life_/article/details/89512688 ） 相比，因为它引入了非线性映射，将线性回归值域映射到（0，1）之间，有助于直观的做出预测类型的判断：大于等于0.5表示阳性，小于0.5表示阴性。

决策边界

经过上面的讲解，我们应该对LR要做什么，有个一个大体上的把握。接下来，我们在深入一下，介绍一下决策边界（Decision Boundary的概念，这将会有助于我们能更好的理解LR的假设函数究竟是在计算什么。
我们知道sigmoid函数的图像，想象一下，在什么时候，我们能取到阳性的结果呢（函数值大于0.5）？

没错，就是上图的z的值大于0的时候，也就是说：
$h_{\theta }(x)=g({\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+...)$的函数值大于0的时候。
于是我们可以得到这样的关系式子：

下面我们再举一个例子，假设我们有许多样本，并在图中表示出来了，并且假设我们已经通过某种方法求出了LR模型的参数（如下图）。也就是假设我们知道了向量${\theta }^T$的值为$[-3,1,1{]}^T$。

所以有：

其临界线也得出来了：$x_1+x_2=3$
所以，这时，直线上方所有样本都是正样本y=1，直线下方所有样本都是负样本y=0。因此我们可以把这条直线成为决策边界。
同理，对于非线性可分的情况，我们只需要引入多项式特征就可以很好的去做分类预测，如下图：

${\theta }^T$怎么解（gai,三声）

要求${\theta }^T$怎么解，可以理解为求参数的权值。我们这里先介绍一个概念代价函数（似然函数）。

代价函数和梯度下降

梯度下降是一个用于求解函数最小值的算法。在机器学习问题上，我们通常会得出模型的代价函数，用于评估模型与真实情况之间的差距。通常我们在确定模型时，会将代价函数取最小时的参数值作为我们模型的最终参数。而，在"找出使得代价函数取最小时的参数值"这一重要步骤的求解过程中，我们通常会见到梯度下降大法的身影。梯度下降法因其思想简单，易于实现，并且收敛效果也很不错的质地，使得它在机器学习领域混的那是相当好！

假设上面这个图是一个山脉的地理图，如果你站在红色区域部分（最高点），你要快速下山应该怎么办？应该每一步都朝着坡度最陡的地方迈过去（局部最优解）。我们计算代价函数$J(\theta )$也是这样的，寻找一个能让代价函数值下降最多的参数的组合。我们需要找到一个凸函数的$J(\theta )$，拥有一个局部最小值，从而求出全局最小值。

具体如何求解代价函数$J(\theta )$呢。
在上一节的线性回归里，我们是这样表示一元一次方程的：
$Y=a+bX$
其平方误差为：${\sum }_{i=1}^n(a+b{X}_i-Y{)}^2$
我们上一节的任务就是找到a，b的值来使得这个误差最小，我们通过各种变换，求出了a，b的式子，是关于$\overline{X}$ 和$\overline{Y}$的。
这里我们定义一元一次的代价函数为：
$J(a,b)=\frac{1}{2n}{\sum }_{i=1}^n(a+b{X}_i-Y{)}^2$
为什么要加一个1/2呢？主要是为了方便求导，因为我们的目标是求一个最小的$J(a,b)$，用导数就对了。
对了，这里的$J(a,b)$就是前面所说的$J(\theta )$。

梯度下降和代价函数，因为我是初学，就简单的理解到这里。

求解逻辑回归的代价函数

我们粗暴的将逻辑回归的假设函数$f(x)=\frac{1}{1+e^{-h_{\theta }(x)}}$带入一元一次方程的代价函数中，我们得到的$J(\theta )$是一个非凸函数，如下图：

这样的函数拥有多个局部极小值，这就会使得我们在使用梯度下降法求解函数最小值时，所得到的结果并非总是全局最小，而有更大的可能得到的是局部最小值。这样解释应该理解了吧。虽然前面的解释否定了我们猜想，但是也给我们指明了思路，那就是我们现在要做的就是为LR找到一个凸的代价函数！ 在逻辑回归中，我们最常用的损失函数为对数损失函数，对数损失函数可以为LR提供一个凸的代价函数，有利于使用梯度下降对参数求解。为什么对数函数可以做到这点呢？ 我们先看一下对数函数的图像：

对数函数的性质大家都有所了解，在（0，1）上，当$z=1$时，$logz=0$；当$z->0$时，$logz->\infty$。这就可以和代价函数联系起来，因为在预测分类中，当算法正确预测的时候，其代价函数的值应该是0；当错误预测的时候，其代价可看作无穷大来惩罚我们的学习算法，使其不要轻易预测错误。所以这个函数很符合我们选择代价函数的要求。
因此，我们将其应用与LR中：

对于惩罚函数Cost的这两种情况：

当实际标签和预测结果相同时，即$y$和$h_{\theta }(x)$同时为1或0，此时代价最小为0； 当实际标签和预测标签恰好相反时，也就是恰好给出了错误的答案，此时惩罚最大为正无穷。现在应该可以感受到对数损失之于LR的好了。

为了可以更加方便的进行后面的参数估计求解，我们可以把Cost表示在一行：

这与我们之前给出的两行表示的形式是等价的。因此，我们的代价函数最终形式为：（1）

此时的损失函数变成了凸函数，Theta的求解，就是梯度下降法求最小值，此时加入的正则化项，是解决过拟合问题。（过拟合问题：如果我们的模型有非常多的特征，模型很复杂，模型对原始数据的拟合效果很好，但是丧失一般性，对新的待预测变量预测效果很差。)

接下来要做的就是使用梯度下降估计参数值或参数组合。
梯度下降算法我们之前介绍过了：（2）

通过求导，我们得到：

求解（1）（2）就可以得到。