[数据结构]二叉搜索树的中序前驱和后继的定义及编程方法_数据结构前驱和后继是什么

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前言

本文探讨二叉搜索树的中序前驱和后继的定义及编程。想象以下应用场景，二叉搜索树的中序遍历得到以下序列

… < $x_n$ < $val$ < $x_{n+1}$ < …

，对于数据为$val$的节点通过’$val++$'跳到数据为$x_{n+1}$的节点，或通过’$val--$跳到数据为$x_n$的节点。在我的理解中，前驱和后继便是为了解决这一问题而被定义。由于前驱和后继的操作相似，所以对于后继只给出定义，具体编程方法可以参考前驱。

一、前驱和后继的定义及位置

(1)前驱的定义

数据值小于节点n，且与节点n数值最接近的节点（记为节点m）就是节点n的前驱，则称“节点n的前驱是节点m”或“节点m是节点n的前驱”。比如搜索树的中序遍历得到 { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } \{1,3,5,7,9\} {1,3,5,7,9}，称3是5的前驱，5的前驱是3。

(2)前驱的位置

根据前驱的定义，我们需要找一个比目前节点小的数，因此可能出现的位置在左子树中；如果没有左子树，那么可能该节点没有前驱（该节点是所有节点中最小的），也有可能该节点有前驱。所以前驱的二叉树中可能的分布位置有以下（2.1）和（2.2）两种:

(2.1) 节点有左子树

下图就是节点n有左子树的情况，首先我们证明所指节点m就是节点n的前驱

证明:
目标：找到一个比节点n小，且与n数值距离最近的节点
事实1：根据搜索二叉树的性质，节点n的左子树中的节点都小于n。
结论1：根据事实1，可知节点n的前驱出现在节点n的左子树。
事实2：根据搜索二叉树的性质，节点m是节点n左子树中数值最大的节点，其位置在节点n左子树最右下角的位置。
结论2：结合结论1和事实2，节点m大于节点n左子树除去节点m的所有节点却小于节点n，形成了 { . . . < 除 外 节 点 m 时 节 点 n 的 左 子 树 < 节 点 m < 节 点 n < . . . } \{...<除外节点m时节点n的左子树<节点m<节点n<...\} {...<除外节点m时节点n的左子树<节点m<节点n<...}的形式。
总结：当节点n有左子树时，其前驱就是节点n左子树中数值最大的节点

(2.2) 节点无左子树

在节点无左子树时有两种情况：n有前驱和n无前驱。

情况1：当n是二叉搜索树中的最小值时，n没有前驱。
情况2：当n不是二叉搜索树中最小值时，即存在前驱 $val$ 使得 $val<n<...$ 或 $...<val<n<...$，并且 $val$ 必然处于n的上方，因为n的右子树必然都大于n而不存在n的前驱（如上图）。

下面我们详细讨论情况2，针对 $val<n<...$ 或 $...<val<n<...$ 我们都发现n是val的后继。后继的操作方法是：先走到节点的右孩子，然后一直往左孩子方向走，反过来就是往右上角方向一直走然后再往左上角走一步。

总结：如果节点n没有左孩子，则前驱就是节点n先往右上角一直走到尽头，走到尽头后往左上角走一步。

(2.3）前驱的位置总结 ***

如果n有左孩子，就走蓝色路线，走蓝色路线必然存在前驱；如果n没有左孩子，则走红色路线，走红色路线时可能会得到一个空指针，说明n没有前驱。

(2)后继的定义

数据值大于节点n，且数值最接近节点n的第一个节点（记为节点m）就是节点n的后继。

二、前驱的编程方法

（1）寻找前驱的编程方法

//寻找节点n的前驱,返回一个指针
Node* prev(Node* n){
	if(!n){
	//传了个空指针
	return nullptr;
	}
	Node* ptr=n;
	if(n->_left){
	//有左孩子,走蓝色路线
		ptr=ptr->_left;
		while(ptr->_right){
			//有右孩子就一直往右孩子方向走
			ptr=ptr->_right;
		}
		return ptr;
	}
	else{
	//没有左孩子,走红色路线
		while(ptr->_parent&&ptr->_parent->_left==ptr){
		//保证ptr走的路线是右上方的方法是:ptr的父节点的左孩子是ptr
			ptr=ptr->_parent;
		}
		ptr=ptr->_parent;
		return ptr
	}
}
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总结

前驱和后继的应用很多，比如重载‘++’和‘–’时节点的跳跃，删除节点时需要找到前驱或后继作为顶替。本笔记主要记录了二叉搜索树的前驱的定义、位置和编程方法，对于后继其实只是一种‘反向操作’，写出了前驱后其实可以通过仿写简单得到后继的程序。