
public TreeNode searchBST(TreeNode root, int val) {
    if(root==null)return null;
    if(root.val>val)return searchBST(root.left,val);
    if(root.val<val)return searchBST(root.right,val);
    return root;
}

1.2插入操作

我们从根节点开始，依次比较要插入的数据和节点的大小关系


public TreeNode insertIntoBST(TreeNode root, int val) {
    //找到空位置插入新节点
    if(root==null)return new TreeNode(val);
    if(root.val<val)root.right=insertIntoBST(root.right,val);
    if(root.val>val)root.left=insertIntoBST(root.left,val);
    return root;
}

1.3删除操作

针对要删除节点的子节点个数的不同，我们需要分三种情况来处理：

情况 1：A 恰好是末端节点，两个子节点都为空，那么它可以当场去世了。
情况 2：A 只有一个非空子节点，那么它要让这个孩子接替自己的位置。
情况 3：A 有两个子节点，麻烦了，为了不破坏 BST 的性质，A 必须找到左子树中最大的那个节点，或者右子树中最小的那个节点来接替自己。我们以第二种方式讲解。


public TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
     if(root==null)return null;
     if(root.val<key)root.right=deleteNode(root.right,key);
     if(root.val>key)root.left=deleteNode(root.left,key);
     if(root.val==key){
         //处理情况 1 和 2
         if(root.left==null)return root.right;
         if(root.right==null)return root.left;
         //处理情况 3
         TreeNode minNode=getMin(root.right);
         //删除 右子树的最小节点
         root.right=deleteNode(root.right,minNode.val);
         //用右子树的最小节点替换 root 节点
         minNode.left=root.left;
         minNode.right=root.right;
         //注意
         root=minNode;
     }
     return root;
}
public TreeNode getMin(TreeNode root){
    while (root.left!=null){
        root=root.left;
    }
    return root;
}

1.4支持重复数据的二叉查找树

针对包含值相同的节点的二叉查找树，有两种存储方式。

第一种方法：二叉查找树中每一个节点不仅会存储一个数据，因此我们通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，把值相同的数据都存储在同一个节点上
第二种方法：每个节点仍然只存储一个数据。在查找插入位置的过程中，如果碰到一个节点的值，与要插入数据的值相同，我们就将这个要插入的数据放到这个节点的右子树，也就是说，把这个新插入的数据当作大于这个节点的值来处理。

当要查找数据的时候，遇到值相同的节点，我们并不停止查找操作，而是继续在右子树中查找，直到遇到叶子节点，才停止。这样就可以把键值等于要查找值的所有节点都找出来。
对于删除操作，我们也需要先查找到每个要删除的节点，然后再按前面讲的删除操作的方法，依次删除。

1.5二叉查找树的性能分析

对于同一组数据，我们可以构造不同的二叉查找树

不管操作是插入、删除还是查找，时间复杂度其实都跟树的高度成正比

第一种二叉查找树，根节点的左右子树极度不平衡，已经退化成了链表，所以查找的时间复杂度就变成了O(n)。

最理想的情况下二叉查找树是一棵完全二叉树（或满二叉树），如上图第三种，插入、删除、查找操作的时间复杂度是O(logn)。

二.平衡二叉查找树

二叉查找树在频繁的动态更新过程中，可能会出现树的高度远大于log n的情况，从而导致各个操作的效率下降。为了避免时间复杂度的退化，针对二叉查找树，引出了一种更加复杂的树，平衡二叉查找树，时间复杂度可以做到稳定的O(logn)

2.1定义

平衡二叉树的严格定义：二叉树中任意一个节点的左右子树的高度相差不能大于1。

平衡二叉查找树中“平衡”的意思，其实就是让整棵树左右看起来比较“对称”、比较“平衡”，不要出现左子树很高、右子树很矮的情况。这样就能让整棵树的高度相对来说低一些，相应的插入、删除、查找等操作的效率高一些。

2.2红黑树

红黑树是平衡二叉树的一种，红黑树中的节点，一类被标记为黑色，一类被标记为红色。除此之外，一棵红黑树还需要满足这样几个要求：

根节点是黑色的；
每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL），也就是说，叶子节点不存储数据；
任何相邻的节点都不能同时为红色，也就是说，红色节点是被黑色节点隔开的；
每个节点，从该节点到达其可达叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点；

当然红黑树同时还要满足二叉查找树的特点

2.3为什么红黑树这么受欢迎

平衡二叉查找树其实有很多，比如AVL（严格符合平衡二叉树的定义）、Splay Tree（伸展树）、Treap（树堆）等，但是在实际工程开发中，对于很多需要平衡二叉查找树的地方，更多会选择使用红黑树。

Treap、Splay Tree，绝大部分情况下，它们操作的效率都很高，但是也无法避免极端情况下时间复杂度的退化。尽管这种情况出现的概率不大，但是对于单次操作时间非常敏感的场景来说，它们并不适用。
AVL树是一种高度平衡的二叉树，所以查找的效率非常高，但是，有利就有弊，AVL树为了维持这种高度的平衡，就要付出更多的代价。每次插入、删除都要做调整，就比较复杂、耗时。所以，对于有频繁的插入、删除操作的数据集合，使用AVL树的代价就有点高了。当然如果是插入特别少，查询特别多的情况下推荐使用AVL树。
而红黑树只是做到了近似平衡，并不是严格的平衡（“平衡”的意思可以等价为性能不退化。“近似平衡”就等价为性能不会退化的太严重），但树的高度仍然是对数量级的，因此性能的损失并不多，并且红黑树降低了对旋转的要求，在插入时避免了大量的旋转，提高了插入,删除的操作性能，所以在维护平衡的成本上，要比AVL树要低。对于工程应用来说，要面对各种异常情况，为了支撑这种工业级的应用，我们更倾向于这种性能稳定的平衡二叉查找树。

三.哈希表为什么不能替代二叉查找树

散列表的插入、删除、查找操作的时间复杂度可以做到常量级的O(1)，非常高效。而二叉查找树在比较平衡的情况下，插入、删除、查找操作时间复杂度才是O(logn)，相对散列表，好像并没有什么优势。那为什么还要用二叉查找树呢？

散列表中的数据是无序存储的，如果要输出有序的数据，需要先进行排序或者配合有序链表来使用。而对于二叉查找树来说，我们只需要中序遍历，就可以在O(n)的时间复杂度内，输出有序的数据序列。
散列表扩容耗时很多，而且当遇到散列冲突时，性能不稳定，尽管二叉查找树的性能不稳定，但是在工程中，我们最常用的平衡二叉查找树的性能非常稳定，时间复杂度稳定在O(logn)。
散列表的构造比二叉查找树要复杂，需要考虑的东西很多。比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。

四.MySQL数据库索引是如何实现的

功能性需求比如常见的按值查询和区间查询
性能方面的需求，我们主要考察时间和空间两方面，也就是执行效率和存储空间。在执行效率方面，我们希望通过索引，查询数据的效率尽可能的高；在存储空间方面，我们希望索引不要消耗太多的内存空间。

基于数组的解决方案

查找的效率很慢
在查找时如果设计插入或删除，算法开销很高
文件系统和数据库的索引都是存在硬盘上的，并且如果数据量大的话，不一定能一次性加载到内存中

基于哈希的解决方案

hash冲突后，数据散列不均匀，产生大量线性查询，效率低

等值查询可以，但是不支持区间快速查找数据，只能挨个遍历
使用hash索引数据存储没有顺序，在order by情况下还要对数据重新排序

基于平衡二叉查找树的解决方案

尽管平衡二叉查找树查询的性能也很高，时间复杂度是O(log n)。而且，对树进行中序遍历，我们还可以得到一个从小到大有序的数据序列，但这仍然不足以支持按照区间快速查找数据。
当数据量比较大的时候，树的深度会变深，查找的次数也会变多，IO的次数也会变多，影响读取的效率。总结：红黑树不适合IO级别的操作,更适合内存级别的应用。

比如Java中：

TreeMap、TreeSet都使用红黑树作为底层数据结构
JDK 1.8开始，HashMap也引入了红黑树：当冲突的链表长度超过8时，自动转为红黑树

有人可能会疑惑为什么这里会涉及到IO次数呢？假设给一亿个数据构建二叉查找树索引，那索引中会包含大约1亿个节点，每个节点假设占用16个字节，那就需要大约1GB的内存空间。给一张表建立索引，我们需要1GB的内存空间。如果我们要给10张表建立索引，那对内存的需求是无法满足的。所以文件系统的索引都是保存在磁盘当中的。

外存储器—磁盘知识的补充

计算机存储设备一般分为两种：内存储器(main memory)和外存储器(external memory)

外存：外存也叫做外存储器，是指除计算机内存及CPU缓存以外的储存器，此类储存器一般断电后仍然能保存数据。常见的外存储器有硬盘、软盘、光盘、U盘等。
内存：内存是计算机中重要的部件之一，它是与CPU进行沟通的桥梁。计算机中所有程序的运行都是在内存中进行的，因此内存的性能对计算机的影响非常大。

磁盘的构造

磁盘是一个扁平的圆盘(与电唱机的唱片类似)。盘面上有许多称为磁道的圆圈，数据就记录在这些磁道上。磁盘可以是单片的，也可以是由若干盘片组成的盘组，每一盘片上有两个面。如下图中所示的6片盘组为例，除去最顶端和最底端的外侧面不存储数据之外，一共有10个面可以用来保存信息。

当磁盘驱动器执行读/写功能时。盘片装在一个主轴上，并绕主轴高速旋转，当磁道在读/写头(又叫磁头) 下通过时，就可以进行数据的读 / 写了。
一般磁盘分为固定头盘(磁头固定)和活动头盘。固定头盘的每一个磁道上都有独立的读/写头(又叫磁头)，它是固定不动的，专门负责这一磁道上数据的读/写。
活动头盘的读/写头(又叫磁头)是可移动的。每一个盘面上只有一个磁头(磁头是双向的，因此正反盘面都能读写)。它可以从该面的一个磁道移动到另一个磁道。所有磁头都装在同一个动臂上，因此不同盘面上的所有磁头都是同时移动的(行动整齐划一)。当盘片绕主轴旋转的时候，磁头与旋转的盘片形成一个圆柱体。各个盘面上半径相同的磁道组成了一个圆柱面，我们称为柱面。因此，柱面的个数也就是盘面上的磁道数。

磁盘的读/写原理

磁盘上数据必须用一个三维地址唯一标示：柱面号（用来定位盘面上的磁道）、盘面号（选择盘面）、块号(定位是哪个扇区)

读/写磁盘上某一指定数据需要下面3个步骤：

首先移动臂根据柱面号（用来定位盘面上的磁道）使磁头移动到所需要的柱面上，这一过程被称为定位或查找。（主要时间）
如上图所示的6盘组示意图中，所有磁头都定位到了10个盘面的10条磁道上(磁头都是双向的)。这时根据盘面号（选择盘面）来确定指定盘面上的磁道。
盘面确定以后，盘片开始旋转，将指定块号(定位是哪个扇区)的磁道段移动至磁头下。

经过上面三个步骤，指定数据的存储位置就被找到。这时就可以开始读/写操作

磁盘读取数据是以盘块（扇区）为基本单位的。位于同一盘块中的所有数据都能被一次性全部读取出来。而磁盘IO代价主要花费在查找时间上。因此我们应该尽量将相关信息存放在同一盘块，同一磁道中。或者至少放在同一柱面或相邻柱面上，以求在读/写信息时尽量减少磁头来回移动的次数，避免过多的查找时间Ts。

所以，在大规模数据存储方面，大量数据存储在外存磁盘中，而在外存磁盘中读取/写入块(block)中某数据时，首先需要定位到磁盘中的某块，如何有效地查找磁盘中的数据，需要一种合理高效的外存数据结构

磁盘预读

当内存读取B文件索引时，程序需要将根节点从磁盘读取到内存中。如果下一个子节点也存储在磁盘中，程序需要从磁盘中读取该节点。为了减少磁盘I/O操作的次数，程序通常会将多个磁盘块读入内存中，这些块中至少包含下一个要访问的子节点。这个操作被称为预读。

如果B文件的节点和数据存储在不同的磁盘块中，程序可能需要多次从磁盘中读取数据才能获取完整的节点或数据。这会导致频繁的磁盘I/O操作，降低程序的性能。

程序在内存中访问B文件的节点和数据时，也需要考虑页的大小。如果一个节点或数据的大小超过了一页的大小，程序需要将其分成多个段，每个段存储在不同的页中。这个过程被称为分页或分块。

概念解析

页（datapage）：页是内存操作的基本单位，页一般由操作系统决定是多大，一般是4k。我们在数据交互时，可以取页的整数倍来进行读取。

我们可以看一个word文档的属性

实际大小只有11.5KB，但是占用空间却是12.0KB（4的倍数）

磁盘块（扇区）：磁盘块（扇区）是文件系统用来管理磁盘空间的基本单位。

在虚拟存储器中，操作系统将内存分成若干个页，也将磁盘分成若干个磁盘块，以便将数据从磁盘读入内存或将数据从内存写入磁盘时进行管理。
在文件系统中，文件通常被分成若干个磁盘块进行存储，而当程序需要读取文件时，操作系统将磁盘块逐一读入内存中的页中，以便程序能够对文件进行访问。

影响IO效率的因素

为了降低树的高度，所以我们引出了B树

B树

B树是一种多路搜索树，它的每个节点可以拥有多于两个孩子节点。M路的B树最多能拥有M个孩子节点（即最多有M-1个关键字）

特点（个人觉得这些特点不用死记，不想看的可以跳过）

除根节点外，其他节点至少有M/2（向上取整）个孩子节点
每个结点的值(索引) 都是按递增次序排列存放的，并遵循左小右大原则。
根结点 的子节点个数为 [2，M]。
B树的所有叶子结点都位于同一层。

每个节点的结构

示例

B树里的节点分裂

这里推荐一个演示网站，非常形象：B-Tree Visualization (usfca.edu)

我们选择最大度数为5之后，插入一组数据： 100 65 169 368 900 556 780 35 215 1200 234 888 158 90 1000 88 120 268 250 。然后观察一些数据插入过程中，节点的变化情况。

一旦节点存储的key数量到达5，就会裂变，中间元素会向上分裂

B树的查找

B树中每个节点都可以存放表的行记录数据，每个节点的读取可以视为一次I/O读取，树的高度表示最多的I/O次数，在相同数量的总记录个数下，每个节点的记录个数越多，高度越低，查询所需的I/O次数越少；假设，硬盘一次I/O数据为16K，一条记录占1K，理论上一个节点最多可以放16个记录，16 ×16 ×16 = 2^12=4096条，当需要存100000条数据时，依然可能导致树高度剧增。

B树和B+树相比的一个特点是内节点（非叶子节点）也存储了表中的一行记录。我们可以发现节点的data部分其实占了很大的空间，相比之下指针部分和关键字部分占得却很少。为了进一步提高磁盘的访问效率，就产生了B+树

B+树

B+树与B树最大的不同是内部结点不保存记录数据，只保存关键字，用于查找，所有记录数据都保存在叶子结点中。由于每个非叶子节点只存放关键字，这样节点中能存放的关键字数量就更多，树的结构就更加矮小，访问磁盘的次数就更少。

上图是标准的B+Tree的数据结构，MySQL索引数据结构对经典的B+Tree进行了优化。在原B+Tree的基础上，增加一个指向相邻叶子节点的链表指针，就形成了带有顺序指针的B+Tree，提高区间访问的性能，利于排序。

特点（个人觉得这些特点不用死记，不想看的可以跳过）

B+树中的节点不存储数据，只是索引，而B树中的节点存储数据；

通过双向链表将叶子节点串联在一起，这样可以方便按区间查找；

每个节点中子节点的个数不能超过m，也不能小于m/2；

根节点的子节点个数可以不超过m/2，这是一个例外；

为什么MySQL索引使用的是B+树而非B树

B+树与B树的设计主要用于提高I/O速度，也就是读取磁盘的速度。先前说了，对于 B-Tree，无论是叶子节点还是非叶子节点，都会保存数据，这样导致一页中存储的键值减少，指针也跟着减少，要同样保存大量数据，只能增加树的高度，导致性能降低；而对于B+Tree树来说，指针增多，自然树的阶（最大度数）增多，自然层数更低，效率更高
如果涉及到范围查找， B+ 树由于所有数据都在叶子结点，不用跨层，同时由于有双向链表结构，只需要找到首尾，通过链表就能把所有数据取出来了，查询性能更高。而B树则需要全局遍历
由于B+树所有数据都存储在叶子结点，所以B+树的I/O次数会更加稳定
基于B+树这样的数据结构，如果采用自增的整型数据作为主键，可以更好的避免数据增加的时候带来的叶子结点分裂

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