算法(五):图解贝尔曼-福特算法

算法简介

贝尔曼-福特算法(Bellman–Ford algorithm )用于计算出起点到各个节点的最短距离，支持存在负权重的情况

• 它的原理是对图进行最多V-1次松弛操作，得到所有可能的最短路径。其优于迪科斯彻算法的方面是边的权值可以为负数、实现简单，缺点是时间复杂度过高，高达O(VE)。但算法可以进行若干种优化，提高了效率。

• Bellman Ford算法每次对所有的边进行松弛，每次松弛都会得到一条最短路径，所以总共需要要做的松弛操作是V - 1次。在完成这么多次松弛后如果还是可以松弛的话，那么就意味着，其中包含负环。

• 相比狄克斯特拉算法(Dijkstra algorithm),其最大优点便是Bellman–Ford支持存在负权重的情况，并且代码实现相对简单。缺点便是时间复杂度较高，达到O(V*E)，V代表顶点数，E代表边数。

可用于解决以下问题：

• 从A出发是否存在到达各个节点的路径(有计算出值当然就可以到达)；
• 从A出发到达各个节点最短路径(时间最少、或者路径最少等)
• 图中是否存在负环路（权重之和为负数）

其思路为：

1. 初始化时将起点s到各个顶点v的距离dist(s->v)赋值为∞，dist(s->s)赋值为0

2. 后续进行最多n-1次遍历操作(n为顶点个数,上标的v输入法打不出来...),对所有的边进行松弛操作,假设:

   所谓的松弛，以边ab为例，若dist(a)代表起点s到达a点所需要花费的总数， dist(b)代表起点s到达b点所需要花费的总数,weight(ab)代表边ab的权重， 若存在:

   (dist(a) +weight(ab)) < dist(b)

   则说明存在到b的更短的路径,s->...->a->b,更新b点的总花费为(dist(a) +weight(ab))，父节点为a

3. 遍历都结束后，若再进行一次遍历，还能得到s到某些节点更短的路径的话，则说明存在负环路

思路上与狄克斯特拉算法(Dijkstra algorithm)最大的不同是每次都是从源点s重新出发进行"松弛"更新操作，而Dijkstra则是从源点出发向外扩逐个处理相邻的节点，不会去重复处理节点，这边也可以看出Dijkstra效率相对更高点。

案例

案例一

先举个网上常见的例子介绍其实现的思路:

如下图按Bellman–Ford算法思路获取起点A到终点的最短路径

由上介绍可知，由于该图顶点总数n=5个顶点，所以需要进行5-1 = 4 次的遍历更新操作，每次操作若能发现更短的路径则更新对应节点的值

1.首先建立边对象信息,需要按从源点A出发，由近到远的顺序，不然没从源点开始的话dist(s)==∞无穷大会增加后续计算的麻烦:

AB:-1
AC:4
BC:3
BE:2
BD:2
ED:-3
DC:5
DB:1
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1.首先列出起点A到各个节点耗费的时间:

2.进行第一次对所有边进行的松弛操作:

2.1统计经过1条边所能到达的节点的值AB,AC：

AB:-1
AC:4
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2.2统计经过2条边所能到达的节点的值BC,BD,BE：

BC:3
BE:2
BD:2
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