最短路问题的原始对偶算法形式_原始对偶双动力学

问题描述

给定一个图，求解源点s到终点t的路径。

点弧关联矩阵定义如下：

列表示边，行表示一个顶点。

可以看到，每一列一定是-1和+1组成，其中-1表示入边，+1表示出边。

我们的目标是求解下列线性规划。

其中f表示选这条边还是不选，选为1，不选为-1，A表示上述的点弧关联矩阵。c表示费用，b表示流量守恒，即一个可行解(f1,f2…fn)必须构成一条路，而我们发现一条路上：除了s和t之外，其他路上的顶点都是一条边进入，一条边出去，即流量守恒。所以该顶点对应的行，比如是有一个+1对应的边选择了，一个-1对应的边选择了，如果该顶点还有一个+1的，也不能再选了，否则Af为1而不是0.

对偶问题

根据上面的原始线性规划，写出其对偶问题。

把上面矩阵形式展开，得到如下：

这里大家耐心展开验证一下即可，不多解释。
不多，需要指出的是，前面说过，对偶问题中的变量总是有其物理含义。那么其中$y_i$你可以理解为顶点$i$到终点$t$的最短路径长度。那么你再看看约束条件，其是说，对于任何一条边，边的左顶点的最短长度-右顶点的最短长度要比边上的长度相等或更小。这是当然的，否则如果$y_i$就不是最短路径长度了，还不如选择这条边呢。

上面$f_j^{\ast }$理解成$f_{ij}^{\ast }$比较好，表示(i,j)这条边选或不选。后面的$e_j$同理。下面同理。

原始对偶算法

在此之前，我们希望先对对偶问题再进行一个细微的处理。
我们发现点弧关联矩阵并不是行满秩的，而是行-1。你可以数学上证明，在物理上你可以理解为告诉了其他行（顶点）出入边情况，就知道剩下一个点的出入边情况。

这告诉我们，在原始线性规划中就可以减少一个约束，我们假设减少的是$t$顶点那行。设顶点个数为m，边个数为n，那么其对偶规划中的$A^{T}y\le c$则形式如下：

即变量少了一个$y_t$，但是我们可以加上，并且和原来同解。

即加上一个对偶变量，但是令其为0，所以变量就变成了m个，从而A也不用截断t所在行，由于乘以$y_t=0$，其实这一行写什么都已经作废了。不过，其实这个加上去根本不为了别的，而是为了那个限制条件能够同意，否则没有$y_t$的话，对于(i,t)这样的边，限制条件需要单独写$y_i\le c_{it}$，但是现在令$y_t=0$得到了统一。

从而得到如下：

原始对偶算法真正开始了。我们假设先得到了一个可行解$y$，然后计算J：

再有：

这里我们在原规划中已经去掉了t行，所以就是如上了。不过注意一下符号，还是之前说的$f_j$写成$f_{ij}$比较好理解，同理，那个$j\in J$写成$(i,j)\in J$比较好。

这个写出对偶问题，慢慢写就行了。不过，此处可以提示一下：RP中的限制条件为：

注意是$n^{\prime }$，因为你看RP中：

所以现在的$f^{\prime }$是全部大于等于0的那些，等于0的对应的那些A列已经清除了得到$A^{\prime }$。

那么其对偶为$A^{T}y\le c$：

从而可以知道：

就是：

同理：

就是：

解释完毕。从而我们现在得到了：
(P),(D),(RP),(DRP)，接下来就是按照原始对偶算法的步骤来求解了，参看下篇。