【线性代数基础进阶】特征值和特征向量_a\alpha2=6\alpha1+2\alpha2 求特征值

特征值、特征向量

定义：设$A$是$n$阶矩阵，$\alpha$是$n$维非$0$列向量，且
$$A\alpha =\lambda \alpha$$
则称$\lambda$是矩阵$A$的特征值，$\alpha$是矩阵$A$对应于特征值$\lambda$的特征向量

由$A\alpha =\lambda \alpha ,\alpha \ne 0\Rightarrow (\lambda E-A)\alpha =0,(\lambda E-A)x=0\Rightarrow \alpha$是齐次方程组$(\lambda E-A)x=0$的非$0$解

1. 由$|\lambda E-A|=0$求特征值${\lambda }_i$，共$n$个（含重根）
2. 对$({\lambda }_{i}E-A)x=0$，求基础解系，即特征值${\lambda }_i$的线性无关的特征向量，写通解得${\lambda }_i$所有的特征向量

定理：如果${\alpha }_1,{\alpha }_2$都是矩阵$A$对应于特征值$\lambda$的特征向量，则当$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2\ne 0$时，$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2$仍是矩阵$A$关于特征值$\lambda$的特征向量

定理：如果${\lambda }_1$与${\lambda }_2$是$A$不同的特征值，对应的特征向量分别是${\alpha }_1$和${\alpha }_2$，则${\alpha }_1,{\alpha }_2$必定线性无关

定理：设$A$是$n$阶矩阵，特征值是${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，则有

• $\sum {\lambda }_i=\sum a_{ii}$
• $|A|=\prod {\lambda }_i$

例：求 A = ( 17 − 2 − 2 − 2 14 − 4 − 2 − 4 14 ) A=

$$\begin{pmatrix}17 & -2 & -2 \\ -2 & 14 & -4 \\ -2 & -4 & 14\end{pmatrix}$$ A=⎝ ⎛​17−2−2​−214−4​−2−414​⎠ ⎞​特征值，特征向量

三阶行列式主对角线元素都含有未知数，直接展开要解三次方程，一般考虑通过行列加减，找出某一行或某一列所有的元素都含有含未知数的公因式或$0$

由$A$的特征多项式
∣ λ E − A ∣ = ∣ λ − 17 2 2 2 λ − 14 4 2 4 λ − 14 ∣ = ∣ λ − 17 2 2 2 λ − 14 4 0 18 − λ λ − 18 ∣ = ∣ λ − 17 4 2 2 λ − 10 4 0 0 λ − 18 ∣ = ( λ − 18 ) ∣ λ − 17 4 2 λ − 10 ∣ = ( λ − 18 ) ( λ 2 − 27 λ + 162 ) = ( λ − 18 ) 2 ( λ − 9 )

$$\begin{aligned} |\lambda E-A|&=\begin{vmatrix} \lambda-17 & 2 & 2 \\ 2 & \lambda-14 & 4 \\ 2 & 4 & \lambda-14 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \lambda-17&2&2\\2&\lambda-14&4\\0&18-\lambda&\lambda-18 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} \lambda-17&4&2\\2&\lambda-10&4\\0&0&\lambda-18 \end{vmatrix}=(\lambda-18)\begin{vmatrix} \lambda-17&4\\2&\lambda-10 \end{vmatrix}\\ &=(\lambda-18)(\lambda^{2}-27\lambda+162)=(\lambda-18)^{2}(\lambda-9) \end{aligned}$$ ∣λE−A∣​=∣ ∣​λ−1722​2λ−144​24λ−14​∣ ∣​=∣ ∣​λ−1720​2λ−1418−λ​24λ−18​∣ ∣​=∣ ∣​λ−1720​4λ−100​24λ−18​∣ ∣​=(λ−18)∣ ∣​λ−172​4λ−10​∣ ∣​=(λ−18)(λ2−27λ+162)=(λ−18)2(λ−9)​
因此${\lambda }_1={\lambda }_2=18,{\lambda }_3=9$
当$\lambda =18$时，$(18E-A)x=0$
$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 4& 4\\ 2& 4& 4\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$
得基础解系：${\alpha }_1=(-2,1,0{)}^T,{\alpha }_2=(-2,0,1{)}^T$，因此特征向量$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2,k_1,k_2$不同时为$0$
当$\lambda =9$时，$(9E-A)x=0$
$$\left(\begin{array}{ccc}-8& 2& 2\\ 2& -5& 4\\ 2& 4& -5\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$
得基础解系${\alpha }_3=(1,2,2{)}^T$，因此特征向量$k_3{\alpha }_3,k_3\ne 0$

对于一个矩阵若，秩等于$1$即存在一行能表示其他所有行，秩等于$2$即存在两行能表示其他所有行，之后同理，类似最大线性无关组

( − 8 2 2 2 − 5 4 2 4 − 5 )

$$\begin{pmatrix}-8 & 2 & 2 \\ 2 & -5 & 4 \\ 2 & 4 & -5\end{pmatrix}$$ ⎝ ⎛​−822​2−54​24−5​⎠ ⎞​求基础解系，本题题解省略的化简步骤，其实化简步骤并不容易，但此处可以用其他思路。
由于已知$|\lambda E-A|=0$，即该矩阵的秩一定小于$3$；随便选两行，这里选二三行，发现二者线性无关（不成比例），因此该矩阵秩大于$1$，可得该矩阵秩为$2$。
由于这两行能线性表示另一行，因此可以构造新的矩阵
$$\left(\begin{array}{ccc}2& -5& 4\\ 2& 4& -5\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$
可以理解为由于这两行能线性表示另一行，因此另一行一定能被全消为$0$
此时只需对新的矩阵行化简即可

设$A\alpha =\lambda \alpha ,\alpha \ne 0$，则有

• $(A+kE)\alpha =(\lambda +k)\alpha$
• $A^n\alpha ={\lambda }^n\alpha$

例：$A$为$3$阶矩阵，特征值是$-1,0,4$，如果$A+B=2E$，则$B$的特征值为（）

设$A\alpha =\lambda \alpha ,\alpha \ne 0$
由$A+B=2E$，有$B=2E-A$，则
$$B\alpha =(2E-A)\alpha =2\alpha -A\alpha =(2-\lambda )\alpha$$
因此$B$的特征值为$3,2,-2$

例：$A$是$3$阶矩阵，$A^2+2A-3E=0$，证明矩阵$A$的特征值只能是$1$或$-3$

设$\lambda$是$A$的任一特征值，对应的特征向量是$\alpha$，即$A\alpha =\lambda \alpha ,\alpha \ne 0$，那么
$$A^2\alpha ={\lambda }^2\alpha$$
由$A^2+2A-3E=0$
有
A 2 α + 2 A α − 3 α = 0 ( λ 2 + 2 λ − 3 ) α = 0 , α ≠ 0 λ 2 + 2 λ − 3 = 0

$$\begin{aligned} A^{2}\alpha+2A \alpha-3\alpha&=0\\ (\lambda^{2}+2\lambda-3)\alpha&=0,\alpha\ne0\\ \lambda^{2}+2\lambda-3&=0 \end{aligned}$$ A2α+2Aα−3α(λ2+2λ−3)αλ2+2λ−3​=0=0,α=0=0​
因此$\lambda =1$或$\lambda =-3$

从题目条件只能推出矩阵特征值只能是$1$或$-3$
例如： ( 1 1 1 ) , ( 3 3 3 ) , ( 1 0 0 0 − 1 − 2 0 − 2 − 1 )

$$\begin{pmatrix}1 & & \\ & 1 & \\ & & 1\end{pmatrix}$$ , $$\begin{pmatrix}3 & & \\ & 3 & \\ & & 3\end{pmatrix}$$ , $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & -1\end{pmatrix}$$ ⎝ ⎛​1​1​1​⎠ ⎞​,⎝ ⎛​3​3​3​⎠ ⎞​,⎝ ⎛​100​0−1−2​0−2−1​⎠ ⎞​

例：已知$\alpha =(1,1,-1{)}^T$是 A = ( 2 − 1 2 5 a 3 − 1 b − 2 ) A=

$$\begin{pmatrix}2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2\end{pmatrix}$$ A=⎝ ⎛​25−1​−1ab​23−2​⎠ ⎞​的一个特征向量，则$a=(),b=()$

设$A\alpha =\lambda \alpha ,\alpha \ne 0$
( 2 − 1 2 5 a 3 − 1 b − 2 ) ( 1 1 − 1 ) = λ ( 1 1 − 1 )

$$\begin{pmatrix}2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$ =\lambda $$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$ ⎝ ⎛​25−1​−1ab​23−2​⎠ ⎞​⎝ ⎛​11−1​⎠ ⎞​=λ⎝ ⎛​11−1​⎠ ⎞​
有
$$\{\begin{array}{l}2-1-2=\lambda \\ 5+a-3=\lambda \\ -1+b+2=-\lambda \end{array}$$
可得$\lambda =-1,a=-3,b=0$

相似矩阵

设$A,B$都是$n$阶矩阵，如果存在可逆矩阵$P$使
$$P^{-1}AP=B$$
就称矩阵$A$相似与矩阵$B$，$B$是$A$的相似矩阵，记作$A\sim B$

相似的基本性质

• $A\sim A$
• 如果$A\sim B$，则$B\sim A$
• 如果$A\sim B,B\sim C$，则$A\sim C$

如果$A\sim B$

• $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|\Rightarrow {\lambda }_A={\lambda }_B$
  证明：
  $$\begin{array}{rl}|\lambda E-B|& =|\lambda E-P^{-1}AP|\\ & =|P^{-1}(\lambda E-A)P|\\ & =|P^{-1}||\lambda E-A||P|\\ & =|\lambda E-A|\end{array}$$
• $r(A)=r(B)$
  证明：
  如果$A$可逆，有$r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)$，则
  $$\begin{array}{r}r(B)=r(P^{-1}AP)=r(AP)=r(A)\end{array}$$
• $|A|=|B|$
  $$|B|=|P^{-1}AP|=|P^{-1}||A||P|=|A|$$
• $\sum a_{ii}=\sum b_{ii}$
• $A^n\sim B^n$
  $A+kE\sim B+kE$
  $A^{-1}\sim B^{-1}$

相似对角化

如果$A\sim \Lambda$，则称矩阵$A$可相似对角化

定理：$A\sim \Lambda \iff A$有$n$个线性无关的特征向量
证明：
如果$A{\alpha }_1={\lambda }_1{\alpha }_1,A{\alpha }_2={\lambda }_2{\alpha }_2,A{\alpha }_3={\lambda }_3{\alpha }_3$，且${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关，则
A ( α 1 , α 2 , α 3 ) = ( A α 1 , A α 2 , A α 3 ) = ( λ 1 α 1 , λ 2 α 2 , λ 3 α 3 ) = ( α 1 , α 2 , α 3 ) ( λ 1 λ 2 λ 3 )

$$\begin{aligned} A(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})&=(A \alpha_{1},A \alpha_{2},A \alpha_{3})\\ &=(\lambda_{1}\alpha_{1},\lambda_{2}\alpha_{2},\lambda_{3}\alpha_{3})\\ &=(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & \\ & \lambda_{2} & \\ & & \lambda_{3} \end{pmatrix} \end{aligned}$$ A(α1​,α2​,α3​)​=(Aα1​,Aα2​,Aα3​)=(λ1​α1​,λ2​α2​,λ3​α3​)=(α1​,α2​,α3​)⎝ ⎛​λ1​​λ2​​λ3​​⎠ ⎞​​
令$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，由于${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关，则$P$可逆，有
$$\begin{array}{rl}AP& =P\Lambda \\ P^{-1}AP& =\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right)\end{array}$$
必要性得证
如果$P^{-1}AP=\Lambda$，有
$$\begin{array}{rl}AP& =P\Lambda \\ A({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)& =({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& & \\ & a_2& \\ & & a_3\end{array}\right)\\ & =(a_1{\alpha }_1,a_2{\alpha }_2,a_3{\alpha }_3)\\ (A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3)& =(a_1{\alpha }_1,a_2{\alpha }_2,a_3{\alpha }_3)\end{array}$$
因此有
$$A{\alpha }_1=a_1{\alpha }_1,A{\alpha }_2=a_2{\alpha }_2,A{\alpha }_3=a_3{\alpha }_3$$
又因为$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$可逆，则${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关，充分性得证、

推论：如果$A$有$n$个不同的特征值，则$A\sim \Lambda$

定理：$A\sim \Lambda \iff \lambda$是$A$的$k$重特征值，则$\lambda$有$k$个线性无关的特征向量

相似对角化解题步骤：

1. 求特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$
2. 求特征向量${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$
3. 构造可逆矩阵$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，则$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right)$

例：已知 A = ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) A=

$$\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$$ A=⎝ ⎛​001​010​100​⎠ ⎞​，求可逆矩阵$P$，使$P^{-1}AP=\Lambda$

由特征多项式
∣ λ E − A ∣ = ∣ λ 0 − 1 0 λ − 1 0 − 1 0 λ ∣ = ( λ − 1 ) 2 ( λ + 1 ) |\lambda E-A|=

$$\begin{vmatrix} \lambda & 0 & -1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ -1 & 0 & \lambda \end{vmatrix}$$ =(\lambda-1)^{2}(\lambda+1) ∣λE−A∣=∣ ∣​λ0−1​0λ−10​−10λ​∣ ∣​=(λ−1)2(λ+1)
则$A$的特征值$1,1,-1$
当$\lambda =1$时，由$(E-A)x=0$
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$
特征向量${\alpha }_1=(0,1,0{)}^T,{\alpha }_2=(1,0,1{)}^T$
当$\lambda =-1$时，由$(-E-A)x=0$
$$\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& -1\\ 0& -2& 0\\ -1& 0& -1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$
特征向量${\alpha }_3=(-1,0,1{)}^T$
令
$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$$
有
$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}1& & \\ & 1& \\ & & -1\end{array}\right)$$

例：已知 A = ( 2 0 0 0 0 1 0 1 x ) , B = ( 2 0 0 0 y 0 0 0 − 1 ) A=

$$\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & x\end{pmatrix}$$ ,B= $$\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$$ A=⎝ ⎛​200​001​01x​⎠ ⎞​,B=⎝ ⎛​200​0y0​00−1​⎠ ⎞​相似

• 求$x,y$
• 求可逆矩阵$P$使$P^{-1}AP=B$

由于$A\sim B$，有
∑ a i i = ∑ b i i ⇒ 2 + 0 + x = 2 + y + ( − 1 ) ∣ A ∣ = ∣ B ∣ ⇒ − 2 = − 2 y ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ E − B ∣ ⇒ ∣ λ − 2 0 0 0 λ − 1 0 − 1 λ − x ∣ = ∣ λ − 2 0 0 0 λ − y 0 0 0 λ + 1 ∣ ⇒ ( λ − 2 ) ( λ 2 − x λ − 1 ) = ( λ − 2 ) [ λ 2 + ( 1 − y ) λ − y ] ⇒ { − x = 1 − y − 1 = − y

$$\begin{align} \sum\limits a_{ii}=\sum\limits b_{ii}&\Rightarrow 2+0+x=2+y+(-1)\tag{1}\\ |A|=|B|&\Rightarrow -2=-2y\tag{2}\\ |\lambda E-A|=|\lambda E-B|&\Rightarrow \begin{vmatrix} \lambda-2 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ 0 & -1 & \lambda-x \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \lambda-2 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-y & 0 \\ 0 & 0 & \lambda+1 \end{vmatrix}\tag{3}\\ &\Rightarrow (\lambda-2)(\lambda^{2}-x \lambda-1)=(\lambda-2)[\lambda^{2}+(1-y)\lambda-y]\\ &\Rightarrow \begin{cases} -x=1-y \\ -1=-y \end{cases} \end{align}$$ ∑aii​=∑bii​∣A∣=∣B∣∣λE−A∣=∣λE−B∣​⇒2+0+x=2+y+(−1)⇒−2=−2y⇒∣ ∣​λ−200​0λ−1​0−1λ−x​∣ ∣​=∣ ∣​λ−200​0λ−y0​00λ+1​∣ ∣​⇒(λ−2)(λ2−xλ−1)=(λ−2)[λ2+(1−y)λ−y]⇒{−x=1−y−1=−y​​(1)(2)(3)​

可以选$(1),(2)$或单独选$(3)$，一般选$(1),(2)$，计算较简单

或
$B$的特征值$2,y,-1$，则$\lambda =-1$是$A$的特征值，有
∣ − E − A ∣ = ∣ − 3 0 0 0 − 1 − 1 0 − 1 − 1 − x ∣ = − 3 ∣ − 1 − 1 − 1 − 1 − x ∣ = − 3 x = 0 |-E-A|=

$$\begin{vmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\0 & -1 & -1-x \end{vmatrix}$$ =-3 $$\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1-x \end{vmatrix}$$ =-3x=0 ∣−E−A∣=∣ ∣​−300​0−1−1​0−1−1−x​∣ ∣​=−3∣ ∣​−1−1​−1−1−x​∣ ∣​=−3x=0
若用$\lambda =2$，有
$$|2E-A|=\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 2& -1\\ 0& -1& 2-x\end{array}\right|=0$$
若用$\lambda =y$，有
$$|yE-A|=\left|\begin{array}{ccc}y-2& 0& 0\\ 0& y& -1\\ 0& -1& y-x\end{array}\right|=(y-2)(y^2-xy-1)=0$$

该式需要结合上面的$(1),(2),(3)$使用，或者选择两个不相关的使用，例如$\lambda =0,\lambda =y$搭配
该方法当出现本题$\lambda =2$时$|2E-A|$本身有一行就为$0$或两行成比例，则需要换$\lambda$或用$(1),(2),(3)$方法

解得$x=0,y=1$，代入题设有
A = ( 2 0 0 0 0 1 0 1 0 ) ∼ ( 2 1 − 1 ) = B A=

$$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ \sim $$\begin{pmatrix} 2 & & \\ & 1 & \\ & & -1 \end{pmatrix}$$ =B A=⎝ ⎛​200​001​010​⎠ ⎞​∼⎝ ⎛​2​1​−1​⎠ ⎞​=B
此处省略步骤，可得
$$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right)$$

实对称矩阵

向量的内积

定义：设$\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n{)}^T,\beta =(b_1,b_2,\cdots ,b_n{)}^T$，有
$$(\alpha ,\beta )=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n={\alpha }^T\beta ={\beta }^T\alpha$$

如果$(\alpha ,\beta )=0$，称$\alpha$与$\beta$正交

$(\alpha ,\alpha )=a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2$，称$\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}$为向量$\alpha$的长度，记作$||\alpha ||$

内积的性质

• $(\alpha ,\beta )=(\beta ,\alpha )$
• $(k\alpha ,\beta )=(\alpha ,k\beta )=k(\lambda ,\beta )$
• $(\alpha +\beta ,\gamma )=(\alpha ,\gamma )+(\beta ,\gamma )$
• $(\alpha ,\alpha )\ge 0$，等号当且仅当$\alpha =0$时成立

例：求与${\alpha }_1=(-1,-1,1{)}^T,{\alpha }_2=(1,2,1{)}^T$都正交的向量

设$\alpha =(x_1,x_2,x_3{)}^T$与${\alpha }_1,{\alpha }_2$都正交，则${\alpha }^T{\alpha }_1=0,{\alpha }^T{\alpha }_2=0$
{ − x 1 − x 2 + x 3 = 0 x 1 − 2 x 2 − x 3 = 0

$$\begin{cases} -x_{1}-x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{1}-2x_{2}-x_{3}=0 \end{cases}$$ {−x1​−x2​+x3​=0x1​−2x2​−x3​=0​
有
$$\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ 1& -2& -1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$$
基础解系$(1,0,1{)}^T$，因此$\alpha =k(1,0,1{)}^T$

正交矩阵

定义：$A$是$n$阶矩阵，若$A{A}^T=A^{T}A=E$，则称$A$是正交矩阵

如果$A$是正交矩阵
$\iff A^T=A^{-1}$
$\iff A$的列向量都是单位向量且两两正交

如果$A$是正交矩阵$\Rightarrow |A|$为$1$或$-1$
证明：
A A T = E ⇒ ∣ A A T ∣ = ∣ E ∣ ∣ A ∣ ⋅ ∣ A T ∣ = 1 ∣ A ∣ 2 = 1

$$\begin{aligned} AA^{T}=E\Rightarrow |AA^{T}|&=|E|\\ |A|\cdot|A^{T}|&=1\\ |A|^{2}&=1 \end{aligned}$$ AAT=E⇒∣AAT∣∣A∣⋅∣AT∣∣A∣2​=∣E∣=1=1​
因此$|A|$为$1$或$-1$

实对称矩阵

定理：实对称矩阵必可相似对角化

定理：实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量相互正交

定理：实对称矩阵必存在正交矩阵$Q$，使$Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$

例：$A$为$3$阶实对称矩阵，满足$A^2=A$，如果$r(A-E)=2$，则$A$的特征值（）

设$A\alpha =\lambda \alpha ,\alpha \ne 0$，则
$$A^2\alpha ={\lambda }^2\alpha$$
由$A^2=A$，有
λ 2 α = λ α ( λ 2 − λ ) α = 0 ⇒ λ 2 − λ = 0

$$\begin{aligned} \lambda ^{2}\alpha&=\lambda \alpha\\ (\lambda ^{2}-\lambda )\alpha&=0\\ &\Rightarrow \lambda ^{2}-\lambda =0 \end{aligned}$$ λ2α(λ2−λ)α​=λα=0⇒λ2−λ=0​
因此$\lambda$是$1$或$0$，又由于$A$是实对称矩阵，$r(A-E)=2$，有
$$A\sim \Lambda \Rightarrow A-E\sim \Lambda -E\Rightarrow r(\Lambda -E)=2$$
$\Lambda$与$A$相似，即特征值相同，又有$r(\Lambda -E)=2$，则可构造
$$\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}1& & \\ & 0& \\ & & 0\end{array}\right)$$
因此$A$的特征值为$1,0,0$

求$Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$

1. 求出$A$的特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$
2. 求出对应的特征向量${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$
3. 该特征向量为${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$
   1. 如果特征值不同，只需单位化（实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量相互正交）
   2. 若特征值有重根
      1. 如果特征向量已正交，只需单位化
      2. 如果特征向量不正交，需施密特（Schmidt）正交化
4. 构造正交矩阵$Q=({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3),Q^{-1}AQ=\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right)$

例：已知 A = ( 1 a − 1 a 3 1 − 1 1 1 ) A=

$$\begin{pmatrix}1 & a & -1 \\ a & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{pmatrix}$$ A=⎝ ⎛​1a−1​a31​−111​⎠ ⎞​，若$r(A)=2$，求$a$，求正交矩阵$Q$和对角矩阵$\Lambda$，使$Q^{-1}AQ=\Lambda$

求$a$可以用行变换，这里用秩的定义，即行列式不为$0$。由于$A$中有二阶子式
∣ 3 1 1 1 ∣ ≠ 0

$$\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ \ne 0 ∣ ∣​31​11​∣ ∣​=0
于是$r(A)=0\iff |A|=0$
$$\left|\begin{array}{ccc}1& a& -1\\ a& 3& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}0& a& -1\\ a+1& 3& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right|=-(a+1{)}^2$$
因此$a=-1$，有
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ -1& 3& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$$
由$A$的特征多项式
$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& 1& 1\\ 1& \lambda -3& -1\\ 1& -1& \lambda -1\end{array}\right|\\ & 找除主对角线外对应位置两数字和为0\\ & =\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0& \lambda \\ 1& \lambda -3& -1\\ 1& -1& \lambda -1\end{array}\right|=\lambda (\lambda -1)(\lambda -4)\end{array}$$
因此$A$的特征值为$0,1,4$
对$\lambda =1$
$$(E-A)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& -2& -1\\ 1& -1& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow {\alpha }_1=(-1,-1,1{)}^T$$
对$\lambda =4$
$$(4E-\lambda )=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 1\\ 1& 1& -1\\ 1& -1& 3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow {\alpha }_2=(-1,2,1{)}^T$$
对$\lambda =0$
$$(0E-A)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -3& -1\\ 1& -1& -1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow {\alpha }_3=(1,0,1{)}^T$$
实对称矩阵，特征值不同，特征向量已经正交，只需单位化
$${\gamma }_1=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right),{\gamma }_2=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right),{\gamma }_3=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$
令
$$Q=({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3)=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{2}{\sqrt{6}}& 0\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$$
则
$$Q^{-1}AQ=\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}1& & \\ & 4& \\ & & 0\end{array}\right)$$