数字抽取滤波(一)

作者：我家自动化 | 2024-07-13 20:39:39

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抽取滤波

一、抽取原理（降频）

图1.1 D倍整数抽取的系统框图

$x(n)=x(t)|_{t=nT_{s}}$

欲使 $f_{s}$ 减少D倍，即 $x(n)$ 中每D个点中抽取一个组成新的序列 $x_{D}(n)$ ,

$x_{D}(n)=x(Dn),-\infty <n<+\infty$

图 1.2 采样与抽取过程中的变化（a）采样前的信号 (b)采样前的频谱
(c)采样后的信号 (d)采样后的频谱 (e)抽取后的信号 (f)抽取后的频谱

①对 $x_{D}(n)$ 做z变换

$X_D (z)=\sum_{n=-\infty }^{+\infty }x_{D}(n)z^{-n}=\sum_{n=-\infty }^{+\infty }x(Dn)z^{-n}$

②现定义一个中间序列 $x_{1}(n)$ :

$x_{1}(n)=\left\{\begin{matrix} x(n), & n=0,\pm D,\pm 2D\cdots \\ 0,& else \end{matrix}\right.$

*注 ${\color{Orange} x_{1}(n)}$ 的采样频率仍是 ${\color{Orange} f_{s}}$ ， ${\color{Orange} x_{D}(n)}$ 的采样频率是 ${\color{Orange} f_{s}/D}$

由此得，

$x_{D}(n)=x(Dn)=x_{1}(Dn)$

$X_D (z)=\sum_{n=-\infty }^{+\infty }x_{1}(Dn)z^{-n}=\sum_{n=-\infty }^{+\infty }x_{1}(n)z^{-\frac{n}{D}}$

即，

$X_{D}(z)=X_{1}(z^{-\frac{1}{D}})$

③然后找到 $X_{1}(z)$ 和 $X(z)$ 的关系

令抽样序列为

$p(n)=\sum_{i=-\infty }^{+\infty }\delta (n-Di)$

即在D整数倍处的值为1，其余皆为0，采样频率为 $f_{s}$ ，对p(n)进行频域分析：

$p(n)=\frac{1}{D}\sum_{k=0}^{D-1}W_{D}^{-kn},W_{D}=e^{-j\frac{2\pi }{D}}$

对于 $x_{1}(n)$ 其实就是原序列与抽样序列的乘积，即 $x_{1}(n)=x(n)p(n)$ ，所以

$X_{1}(z)=\sum_{n=-\infty }^{+\infty }x(n)p(n)z^{-n}=\frac{1}{D}\sum_{n=-\infty }^{+\infty }[x(n)\sum_{k=0}^{D-1}W_{D}^{-kn}]z^{-n}=\frac{1}{D}\sum_{k=0}^{D-1}\sum_{n=-\infty }^{+\infty }x(n)(zW_{D}^{k})^{-n}$

即

$X_{1}(z)=\frac{1}{D}\sum_{k=0}^{D-1}X(zW_{D}^{k})$

$X_{D}(z)=X_{1}(z^{\frac{1}{D}})=\frac{1}{D}\sum_{k=0}^{D-1}X(z^{\frac{1}D{}}W_{D}^{k})$

将 $z=e^{j\omega _{d}},\omega _{d}=2\pi f/(f_{s}/D)=2\pi fD/f_{s}=D\omega$ ，带入上式

$X_{D}(e^{j\omega _{d}})=\frac{1}{D}\sum_{k=0}^{D-1}X(e^{j\frac{\omega _{d}}{D}}e^{-j\frac{2\pi }{D}k})=\frac{1}{D}\sum_{k=0}^{D-1}X(e^{j\frac{(\omega _{d}-2\pi k)}{D}})$

由上式可以看出，在频域上，输出信号频谱是由输入信号频谱在ω轴上每间隔2π/D的移位叠加，再进行D倍的扩展而成。输出信号频谱为周期为2π/D的周期信号。而在时域上，序列x(n)经过D倍采样，每间隔D-1个点被保留下来，最终形成降频后的新序列 $x_{D}(n)$ 。

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