动态规划（C语言）_c语言动态规划算法

一、入门

 以斐波那契数列为例，它的第一项为1，第二项为1，从第三项开始，每一项的值都是前面两项的和。让我们求第n项的是多少。对于这个问题，我们从最开始的递归思想来看。

int fib(int n)
{
	if (n == 1 || n == 2) return 1;
	return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

这个递归的时间复杂度是O(2^n)，随着n的增大，呈指数级别增长。递归的时间复杂度之所以高，是因为它涉及了很多重复性计算。比如在计算fib(5)的时候，fib(5) = fib(4) + fib(3)。接下来计算fib(4)，fib(4) = fib(3) + fib(2)。fib(4)计算完后就会再计算fib(3)。然而我们之前在计算fib(4)的时候已经算出fib(3)了。fib(3)被重复计算了两次。当n很大的时候。重复计算的工作就越来越多。

为了避免重复计算，我们可以在计算的过程中将已经计算过的值保存下来，等到再一次遇到的时候就可以直接使用。开一个dp[]数组，dp[i]存储fib(i)的值。dp[i] = 0表示还没有计算过

int dp[20];
int fib(int n)
{
	if (n == 1 || n == 2) return 1;
	if (dp[n]) return dp[n];//计算过，直接返回dp[n]
	return dp[n] = fib(n - 1) + fib (n - 2);
}

使用数组储存状态是动态规划必备的要素。

动态规划问题解决的基本思想：

1、根绝问题所求的那一项和变量的个数，确定是一维数组，二维数组或者多维数组。

2、写出初始值，一般是某个变量为1或者0 的特殊情况时候的解。

3、通过循环，一般是两个循环中间每一层循环表示一个变量的递增情况。

4、在循环中间写出对应的递推关系表达式，求出问题的每一项。

5、根据题意得到答案，一般是数组的最后一项。

二、DP思想入门

1、01背包问题https://www.lanqiao.cn/problems/1174/learning/

#include <stdio.h>
#define max(x,y) (x>y?x:y)
int main(void)
{
  int n,V;
  scanf("%d %d",&n,&V);
  int w[105]={0},v[105]={0};//分别储存重量和价值的数组 
  int dp[105][1005]={0};
  for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
  for(int i=1;i<=n;i++)//商品数量上限是n 
    for(int j=1;j<=V;j++)//物品体积和不能超过背包容量V 
    {
      if(j<w[i])
        dp[i][j]=dp[i-1][j];
        dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
    }
  printf("%d",dp[n][V]);
  return 0;
}

该情况下的递推关系，x不选，v选该物品

 

5 10
w v数组
1 6
2 5
3 8
5 15
3 3
dp数组
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
0 6 6 11 11 11 11 11 11 11 11
0 6 6 11 14 14 19 19 19 19 19
0 6 6 11 14 15 21 21 26 29 29
0 6 6 11 14 15 21 21 26 29 29
29

2、最长上升子序列

https://www.dotcpp.com/oj/problem1557.html

#include <stdio.h>
#define max(x,y) (x>y?x:y)
int main()
{
	int n,m=0;
	int a[1000]={0};//储存原数组
	int dp[1000]={0};//储存从不同位置开始最长长度 
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
		
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		dp[i]=1;
		for(int j=1;j<i;j++)
		{
			if(a[j]<=a[i])
			    dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);
		}
		m=max(m,dp[i]);
		printf("%d ",m);
	}
	printf("\n%d",m);
	return 0; 
}

思路分析：因为最短也是1，所以说dp数组赋值为1，

从第一个数开始，依次找到以该数为尾的数组的最长上升子序列长度储存在dp数组中

内循环中，依次从第一个数开始遍历，找到比a[i]小的a[j]，并且dp[j]最大的数，然后+1赋值给dp[i].

其方程为dp[i]=max(dp[j])+1，下面为输出结果，第三行为dp数组

10
3 18 7 14 10 12 23 41 16 16
1 2 2 3 3 4 5 6 6 6
6

3、数字三角形

https://www.lanqiao.cn/problems/505/learning/

#include<stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define max(x,y) (x>y?x:y)
 
int main() 
{
	int n;
    scanf("%d", &n);
    int An[n][n];//储存三角形每个位置的值 
    
    for(int i = 0; i < n; i ++)//三角形的行i的循环 
	{
        for(int j = 0; j < i + 1; j ++)//三角形列j的循环，列最大等于该行的行数 
            scanf("%d", &An[i][j]);
    }
    for(int i = 0; i < n; i ++)//三角形的行i的循环 
	{
        for(int j = 0; j < i + 1; j ++)//三角形列j的循环，列最大等于该行的行数 
		{
            if(i >= 1)//不是第一列只有一个数的情况下 
			{
                if(j == 0)//数组第一列没有左上角的值，直接加上面的值就是最大值 
                    An[i][j] += An[i -1][j];
                else if(j == i)//即数组每列最后一个没有正上方的值，直接加左上值即可 
                    An[i][j] += An[i - 1][j - 1];
                else//其余情况加其左上右上的最大值 
				{
                    int max1 =Max(An[i - 1][j - 1],An[i - 1][j]); 
                    An[i][j] += max1;
                }
            }
        }
    }
    //上面执行完后，An数组每个值表示顶点到该位置路程最大值
    //向左下走与向右下走的次数相差不能超过 1,即输出第n行中间值，分行数的奇偶
	if(n%2==1)  
		printf("%d\n",An[n-1][(n-1)/2]);
    else 
		printf("%d\n",Max(An[n-1][(n-1)/2],An[n-1][(n-1)/2+1]));
    return 0;
}

思路分析：从顶点开始，遍历输入的二维数组，将顶点到该点路径最大值重新给数组该点赋值，题目中说向左下走的次数与向右下走的次数相差不能超过 1。即规定终点只能是最后一排的中间（最后一行为奇数则最中间，偶数则中间两个都可）。

顶点的值就是该点的值，所以说未讨论，如果是像上面几个题一样重新开创新数组顶点要单独赋值，注意本题是将三角形全部靠左对齐，所以说左边一列无左上角值，右边一列无右上角值的下标和原三角形比起来略有差异。

4、跳跃

https://www.lanqiao.cn/problems/553/learning/

#include <stdio.h>
int b[105][105];//每个点的权值
int find_max(int x,int y){
  int max=0;
  for(int i=x;i>=1;i--){//从下往上倒推
    for(int j=y;j>=1;j--){//从右往左倒推
      if(!(x==i&&y==j)&&(x-i+y-j)<=3&&max<b[i][j]){
        //同时满足三个条件
        //1.不原地踏步2.每次跳跃在距离范围之内3.比当前max更大时才更新max
        max=b[i][j];
      }
    }
  }
  return max;
}
int main(){
  int n,m;
  scanf("%d %d",&n,&m);
  int i,j;
  for(i=1;i<=n;i++){
    for(j=1;j<=m;j++)
      scanf("%d",&b[i][j]);
  }
  for(i=1;i<=n;i++){
    for(j=1;j<=m;j++)
      b[i][j]+=find_max(i,j);
  }
  printf("%d",b[n][m]+b[1][1]);
}

思路分析：第三题的衍生题，三角形变为矩阵，每次移动的选择更多，但思路相同，都需要找出顶点到每个点路径的最大值，并且储存在数组中。最后输出数组终点的值即可。

数字三角形是本身加上旁边两个相邻位置的最大值，此处也一样，一个点能到的是其右下角半径<=3的圆内的点，所以说一个点的值应该是该点值加上其左上角扇形内的最大值。所以说在find-max函数内是倒序遍历